九边形

正九边形是指所有边等长、所有角等角的九边形，由九条相同长度的边和九个相同大小的角构成，是一种正多边形。正九边形的内角是${\displaystyle {\frac {7\pi }{9}}}$ 弧度，换算成角度是140度。在施莱夫利符号中用 ${\displaystyle \left\{9\right\}}$  来表示。

面积

边长为a的正九边形面积为：

${\displaystyle A={\frac {9}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{9}}=(9/2)ar=9r^{2}\tan(\pi /9)}$ 

${\displaystyle =(9/2)R^{2}\sin(2\pi /9)\simeq 6.18182\,a^{2}\,}$ 

其中r是内切圆半径：

${\displaystyle r=(a/2)\cot(\pi /9)}$ 

构造

由于正九边形的边数不是费马数，因此是一个不可作图多边形，是继正七边形后另一个不能尺规作图的正多边形，但仍可以使用二刻尺作图完成^[2]。尺规作图也可以将正九边形近似作图^[3]。

二刻尺作图

正九边形在二刻尺作图上可以利用120度的三等分角得中心角40度或平角与40度角的差角得140度为内角来构造^[4]。

尺规作图

尽管正九边形不是一个可作图多边形^[5]，许多数学家仍然尝试着寻找能将正九边形以尺规作图做出的几何性质，例如若有一个几何中心位于原点O的正九边形ABCDEFGHI，令M_AB为AB中点、X_BC为该正九边形外接圆的弧BC中点，并令M_OX为OX_BC中点，则角OM_ABM_OX为30度^[6]。虽然30度为可作图角，但必须已知外接圆，因此仍无法以此性质完成正九边形的尺规作图。

尽管尺规作图无法完成一个正九边形，但是仍可以透过近似来完成在一定误差内的正九边形。以下给出一个误差为0.001°的近似作图：

或者用文字表示另一种近似作图：

先做一个圆O

在圆内接一个正三角形

再接一个倒正三角形

以倒三角的边长为半径画三个圆

擦去倒三角形

连接三个圆和三角形接触圆的点

扭歪九边形，又称不共面九边形，是指顶点并非完全共面的九边形。除了三维空间的扭歪九边形之外，扭歪九边形亦可以在一些高维度的多胞体中找到，通常会以皮特里多边形的方式存在。例如八维正九胞体的皮特里多边形就是一个扭歪九边形，其具有 A₈ [3⁷] 考克斯特群的对称性。

正九边形具有Dih₉的对称性，其阶数为18。九边形的对称群共有2个子群，他们分别为：Dih₃和Dih₁，另外也有三个循环群，他们分别为：Z₉、Z₃和Z₁。

K₉完全图经常会被以正九边形的图形绘制来描述其36条连接边。这个图与八维正九胞体的正投影图（英语：orthographic projection）同为9个顶点和36条边。

另外K₉完全图也显示了九边形的27条对角线。

明日巨星合唱团（英语：They Might Be Giants）的专辑《Here Come the 123s（英语：Here Come the 123s）》中有一首单曲叫做《九边形》。他指的是派对的参加者在派对中表演的一个舞蹈“派对中的每个人都是很多个边的多边形”^[7]。

有些建筑物的底面正好会是九边形，例如灵曦堂是一种对应的底面为九边形的建筑物^[8]、美国钢铁塔（英语：U.S. Steel Tower）是一个底面为不规则九边形的建筑物。

含有正九边形的平面镶嵌可以由正九边形与正六边形排列并在空隙填满等腰三角形完成镶嵌。在对称多面体的表示法中，这个镶嵌可以表示为H(*;3;*;[2])，其中，H表示平面的 *632 六角形对称性。

其他正九边形在平面上的镶嵌皆存在空隙，而无空隙的正九边形镶嵌可以存在于双曲面上，以每个顶点为3个以上的九边形为公共顶点构成。

• 九边形数
• 九面体：面数和此多边形的边数一样都是9。
• 九胞体：胞数和此多边形的边数一样都是9。
• 九：此多边形的边数是9。