反余弦

反余弦的数学符号是${\displaystyle \arccos }$ ，最常被计为${\displaystyle \cos ^{-1}}$ 。在不同的编程语言和有些计算器则使用acos或acs。

原始的定义是将余弦函数限制在${\displaystyle [0,\pi ]}$ （[0,180°]）的反函数
在复变分析中，反余弦是这样定义的:

${\displaystyle \arccos x=-{\mathrm {i} }\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,}$ 

这个动作使反余弦被推广到复数。

反余弦函数是一个定义在区间${\displaystyle \left[-1,1\right]}$ 的严格递减连续函数。

${\displaystyle \arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,\pi \right]}$ 

（${\displaystyle \arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,180^{\circ }\right]}$ ）

其图形是对称的，即对称于点${\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ，或表示为${\displaystyle \left(0,90^{\circ }\right)}$ ，所以满足${\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)=180^{\circ }-\arccos \left(-x\right)}$ 
反余弦函数的导数是：
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ .
反余弦函数的泰勒级数是：

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(x+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |x|\leq 1\end{aligned}}}$ 

基于上述级数在${\displaystyle |x|}$ 接近1时收敛速度十分缓慢，在${\displaystyle x=-1}$ 求得的泰勒级数是：

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\left(1+\left({\frac {1}{4}}\right){\frac {x+1}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{4\cdot 8}}\right){\frac {(x+1)^{2}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{4\cdot 8\cdot 12}}\right){\frac {(x+1)^{3}}{7}}+\cdots \right)\\&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{3n}(n!)^{2}}}\right){\frac {(x+1)^{n}}{(2n+1)}}\end{aligned}}}$ 

由于先前描述的对称关系${\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)}$ ，可由上式计算${\displaystyle |x|}$ 接近1时的反余弦值。

也可以用反余弦和差公式将两个余弦值合并成一个余弦值:

${\displaystyle \arccos x_{1}+\arccos x_{2}={\begin{cases}\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}<0\end{cases}}}$ 

${\displaystyle \arccos x_{1}-\arccos x_{2}={\begin{cases}-\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}\geq x_{2}\\\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}<x_{2}\end{cases}}}$ .

直角三角形的辐角为其邻边和斜边之间的比率的反余弦值。

• 余弦
• 反正弦