反余弦

反余弦
Arccos.svg
性质
奇偶性 非奇非偶函数
定义域 [-1, 1]
到达域
([0,180°])
周期 N/A
特定值
当x=0
(90°)
当x=+∞ N/A
当x=-∞ N/A
最大值
(180°)
最小值
其他性质
渐近线 N/A
1
拐点
不动点 y轴为弧度时:

0.7390851332152...
(42.3464588340929...°)

y轴为角度时:
0.999847741531088...°
(0.0174506351083467...)
k是一个整数

反余弦(arccosine, , )是一种反三角函数,也是高等数学中的一种基本特殊函数。在三角学中,反余弦被定义为一个角度,也就是余弦值的反函数,然而余弦函数是双射且不可逆的而不是一个对射函数(即多个值可能只得到一个值,例如1和所有同界角),故无法有反函数,但我们可以限制其定义域,因此,反余弦是单射满射也是可逆的,另外,我们也需要限制值域,且限制值域时,不能和反正弦定义相同的区间,因为这样会变成一对多,而不构成函数,所以我们将反余弦函数的值域定义在([0,180°])。另外,在原始的定义中,若输入值不在区间,是没有意义的,但是三角函数扩充到复数之后,若输入值不在区间,将传回复数

命名

反余弦的数学符号是 ,最常被计为 。在不同的编程语言和有些计算器则使用acos或acs。

定义

原始的定义是将余弦函数限制在 ([0,180°])的反函数
复变分析中,反余弦是这样定义的:

 

这个动作使反余弦被推广到复数

 
拓展到复数的反余弦函数

性质

反余弦函数是一个定义在区间 严格递减连续函数

 
 

其图形是对称的,即对称于点 ,或表示为 ,所以满足 
反余弦函数的导数是:
 .
反余弦函数的泰勒级数是:

 

基于上述级数在 接近1时收敛速度十分缓慢,在 求得的泰勒级数是:

 

由于先前描述的对称关系 ,可由上式计算 接近1时的反余弦值。

也可以用反余弦和差公式将两个余弦值合并成一个余弦值:

 
 .

应用

直角三角形的辐角为其邻边和斜边之间的比率的反余弦值。

参见