十九面体

部分的十九面体
Image of a polyhedron vertice as a face to snub from hemicube.svg
扭棱半立方体
18-gonal pyramid.png
十八角锥
Heptadecagonal Prism.svg
十七角柱

几何学中,十九面体是指有19个面的多面体,在十九面体当中没有任何一个形状是正多面体,换言之即正十九面体并不存在,但仍有许多由正多边形组成的十九面体,例如正十七角柱[1][2],与之拓朴结构类似的十九面体[3][4][5]曾被用于在形状稳定性的证明[6]

常见的十九面体是十七角柱和十八角锥,也有一些化学结构是十九面体,例如有一种十二个顶点的分子构型,由其在几何上由十八个三角形和一个四边形组成[7]。此外要构成十九面体至少要有12个顶点[8]

常见的十九面体

常见的十九面体包含了一些锥体、柱体和一些由锥体与柱体组合并包含19个面形状,亦有一些拓朴结构明显与锥体、柱体不同的十九面体,例如空间填充十三面体的对偶多面体。

十八角锥

 
十八角锥

十八角锥是一种底面十八边形锥体,是十九面体的一种,其具有19个面、36条边和19个顶点,其对偶多面体是自己本身[9]。正十八角锥是一种底面为正十八边形的十八角锥,在施莱夫利符号中可以用{}∨{18}来表示。底边长为 、高为 的正十八角锥体积 和表面积 [9]

 
 

十七角柱

 
十七角柱

十七角柱是一种底面为十七边形柱体,是十九面体的一种,由19个面51条边和34个顶点组成。正十七角柱代表每个面都是正多边形的十七角柱,其每个顶点都是2个正方形和1个十七边形的公共顶点,顶点图 表示,因此具有每个角等角的性质(点可递),可以归类为半正十九面体,不过他跟其他较接近球形的半正多面体相比之下变得比较扁一些。

正十七角柱在施莱夫利符号中可以用{17}×{}或t{2,17}来表示,在考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram中可以用     来表示,在威佐夫符号英语Wythoff symbol中可以利用2 17 | 2来表示,在康威多面体表示法中可以利用P17来表示。底边长为 、高为 的正十七角柱体积 和表面积 [10]

 
 

九角锥柱

九角锥柱是指底面为九边形角锥柱,由19个面、32条边和19个顶点组成,是一种十九面体。其对偶多面体为九角锥台锥,由于拓朴结构与九角锥柱相同,因此有时会被视作自身对偶多面体。

九角锥台锥

九角锥台锥是指由九角锥台和九角锥组合成的多面体,其有两种形式:一种是九角锥叠在九角锥台较小的九边形面、另一种是九角锥叠在九角锥台较大的九边形面。后者可以视为只截去一个顶点的双九角锥。

九角锥台锥的拓朴结构与九角锥柱相同,因为九角锥柱可以借由缩放其九边形面使图形变形成九角锥台锥。

十七角锥台

十七角锥台一种底面为时七边形的锥台,可以视为切去一个顶点的十七角锥。通常其两个底面形状会有差异或者相似,而两个底面都全等的十七角锥台与十七角柱无异,因此十七角锥台的拓朴结构与十七角柱相同,因为十七角柱可以借由缩放其十七边形面使图形变形成十七角锥台。

六角锥反角柱

六角锥反角柱是指底面为六边形角锥反角柱,可以视为一个六角锥与一个反六角柱底面对底面的组合。

六角锥反角柱不是一个詹森多面体,因为当其所有面都是正多边形时,其中六个正三角形将会共面,而导致图形退化成反六角柱。

 

相同的情形也出现在双六角锥反角柱上,必须要将部分正多边形面拉长或扭曲才能构成多面体,导致其无法以所有面皆为正多边形的形式存在,因此这些多面体可以被归类为拟詹森多面体[11]

对偶多面体为十九面体的多面体

有些多面体具有19个顶点,因此其对偶多面体为十九面体。例如空间填充十三面体具有19个顶点,因此其对偶多面体是一个十九面体。

空间填充十三面体的对偶多面体

 
空间填充十三面体的对偶多面体

空间填充十三面体的对偶多面体是一种19面体,其可以视为一种经过扭棱变换的结果,其对应的原像与半立方体类似,但又不相同,其对应的原像有面积为零的退化面。

这个多面体一共有19个面、30条边和13个顶点,其面由16个三角形和3个梯形所组成。其对偶多面体可以独立填满整个三维空间。

十九面体列表

名称 种类 图像 符号 顶点 χ 面的种类 对称性 展开图
十七角柱 棱柱体   t{2,17}
{17}x{}
      
34 51 19 2 2个十七边形
17个矩形
D17h, [17,2], (*17 2 2), order 68
十八角锥 棱锥体   ( )∨{18} 19 36 19 2 1个十八边形
18个三角形
C18v, [18], (*18 18)
九角锥柱 角锥柱 P9+Y9 19 36 19 2 9个三角形
9个正方形
1个九边形
C9v, [9], (*99)
九角锥台锥 截角双锥 19 36 19 2 1个九边形
9个梯形
9个三角形
C9v, [9], (*99)
十七角锥台 锥台 34 51 19 2 2个十七边形
17个梯形
D17h, [17,2], (*17 2 2), order 68
六角锥反角柱 角锥反角柱   13 30 19 2 1个六边形
18个三角形
C6v, [6], (*66)
六角化六角帐塔 帐塔锥 19 36 19 2

12个三角形
6个矩形
1个12边形

C6v, [6], (*66)
空间填充十三面体[12]
的对偶多面体
扭棱半立方体   13 30 19 2 16个三角形
3个梯形
 
侧锥十四角柱 A14+Y4 19 4个正三角形
13个正方形
2个十四边形
C2v
二侧锥十一角柱 P11+2Y4 19 8个正三角形
9个正方形
2个十一边形
C2v

参见

  • 十九边形:同为含19个维面(facet)的形状,但是位于二维空间。

参考文献

  1. ^ Murray S. Klamkin. Problems in Applied Mathematics. SIAM. 1990. ISBN 9781611971729. 
  2. ^ Algonquin College, Carleton-Ottawa Mathematics Association. Crux Mathematicorum. 第 6 卷. Algonquin College. 1980: 29. 
  3. ^ University of Calgary. Dept. of Mathematics, Statistics, and Computing Science. Research Paper. 第 101-110 期. 1980: 22. 
  4. ^ Raj Chandra Bose, University of North Carolina (1793-1962). Dept. of Statistics, United States. Air Force. Office of Scientific Research. Proceedings. University of North Carolina. 1970: 232. 
  5. ^ George S. Innis. Existence of Binary Sequences with Prescribed Properties 11 (4): 621–622. doi:10.1137/1011101. 
  6. ^ Michael Goldberg, R. K. Guy, and R. K. Guy. Stability oF Polyhedra. Problem 66-12 11 (1): 621–622. 1969年1月. doi:10.1137/1011014. 
  7. ^ KING, R. Bruce. Supraicosahedral polyhedra in carboranes and metallacarboranes: The role of local vertex environments in determining polyhedral topology and the anomaly of 13-vertex closo polyhedra. Journal of organometallic chemistry, 2007, 692.9: 1773-1782.
  8. ^ Counting polyhedra. numericana.com. [2016-01-10]. (原始内容存档于2016-05-06). 
  9. ^ 9.0 9.1 Wolfram, Stephen. "Octadecagonal pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  10. ^ Wolfram, Stephen. "heptadecagonal prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  11. ^ Kaplan, Craig S.; Hart, George W., Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons, Bridges: Mathematical Connections in Art, Music and Science (PDF), 2001 [2016-10-16], (原始内容存档 (PDF)于2015-09-23) .
  12. ^ Aspace-filling polyhedron with 13 faces. science.unitn.it. 2016-01-10 [2016-08-28]. (原始内容存档于2017-07-01).