大十二面体

大十二面体是4个非凸正多面体之一，具二十面体的对称性^[11]，由12个面^[12]、30条边和12个顶点所组成^[13][14]，其12个面皆为正五边形面，其中12个五边形中有6对互相平行的五边形。其每个顶角都是由5个五边形以五角星的路径构成的五面角，因此在施莱夫利符号中可利用{5,5/2}来表示^[15]，意为此立体的所有顶角组成的面皆为五边形（施莱夫利符号：{5}），并且以五角星（施莱夫利符号：{5/2}）的方式构成。而在考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin digram）中则利用       来表示^[16]。在抽象几何学中，大十二面体对应到一个亏格为4的五阶五边形正则地区图（施莱夫利符号：{5,5}），同时，其对偶多面体小星形十二面体亦对应到相同的正则地区图^[17]，因此这个正则地区图是一个自身对偶的几何结构。^[18]

面的组成

大十二面体由12个正五边形面组成，每个正五边形面都与另外5个正五边形面互相相交，因此，其面有一部分是隐没在图形内部的，如下左图，以白色表示，而露在外部的则以蓝色表示^[5]。

二面角

大十二面体是一种星形正多面体^[19]，因此大十二面体仅有一种二面角，其值为五平方根倒数的反余弦值^[20]：

${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 63.434948823^{\circ }}$ 

顶点坐标

由于大十二面体的凸包为正二十面体^[2]，且无顶点落在凸包内，因此大十二面体的顶点坐标会与相同边长的正二十面体相同，边长为单位长、几何中心在原点，则其为：^[21]

${\displaystyle (0,\,\pm 1,\,\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}})}$ 、

${\displaystyle (\pm 1,\,\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\,0)}$ 、

${\displaystyle (\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\,0,\,\pm 1)}$ 。

星形正多面体经常出现在艺术创作中，部分小说也有使用大十二面体进行创作，如《游戏人生》^[23]。除了艺术创作外，常见文化也有关于大十二面体的使用，例如部分的魔术方块之外型^[24]，以及其投影图曾作为视觉化的相关实验性教材^[25]。

在常见文化中

• 魔术方块亚历山大之星的外形也是大十二面体^[24]。

在小说中

• 在小说《游戏人生》中，唯一神持有的星杯外形为大十二面体^[23]。

在计算机科学中

• 大十二面体也可以做为协助推算二元格雷码（英语：Binary Golay code）的工具之一^[26]。

部分多面体与镶嵌与大十二面体有一些几何关联。例如部分多面体可透过大十二面体经过康威变换而得到，例如截角大十二面体、截半大十二面体^[27]、以及其对偶多面体小星形十二面体^[21]。

对偶多面体

大十二面体的对偶多面体同样是一个星形正多面体，为小星形十二面体^[21]，由12个五角星面组成^[28]。

康威变换的结果

部分多面体可透过大十二面体经过康威变换而得到，例如截角大十二面体，即截去大十二面体所有顶点后得到的立体^[27][29]：

相关三角化多面体

大十二面体可以变换成外观相同的简单多面体，此时，多面体变为由20个凹三角锥组成^[6]，这时，其拓朴结构则与三角化二十面体相同，皆是在正二十面体的每个三角形面接上三角锥^[30][31]。

星形镶嵌图

其也可以视为一系列施莱夫利符号中可利用{n,n/2}表示的星形镶嵌之一，例如七阶七角星镶嵌^[32][33]：

对偶复合体

大十二面体与其对偶的复合体为复合小星形十二面体大十二面体。其共有24个面、60条边和24个顶点，其尤拉示性数为-12，亏格为7^[34]，而在这个立体图形中，大十二面体完全隐没于小星形十二面体而不可见^[35]。

• 正二十面体
• 正十二面体