星形正多面体

星形正多面体（开普勒-庞索特多面体）是一类非凸多面体，共有四个。它们的表面均为正多边形或星形正多边形，且每个顶点都有相同数目的边连接。

透视图 立体图 名称 施氏符号 点 边 面 X 对偶多面体 外接立体 内接立体 点群
SmallStellatedDodecahedron.jpg Small stellated dodecahedron.png 小星形十二面体 {5/2,5} 12 30 五角星×12 -6 大十二面体 正十二面体 正二十面体 群
GreatDodecahedron.jpg Great dodecahedron.png 大十二面体 {5,5/2} 12 30 正五边形×12 -6 小星形十二面体 正二十面体 正十二面体 群
GreatStellatedDodecahedron.jpg Great stellated dodecahedron.png 大星形十二面体 {5/2,3} 20 30 五角星×12 2 大二十面体 正十二面体 正十二面体 群
GreatIcosahedron.jpg Great icosahedron.png 大二十面体 {3,5/2} 12 30 等边三角形×20 2 大星形十二面体 正二十面体 正二十面体 群

性质

皮特里多边形是指两个连续边都属于多面体的一个面，但三边不属多面体的面的不共面多边形。哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特证明了若正多面体 的皮特里多边形有 边，则有

 。

除了 均为正整数时，有5组解，对应5个正多面体。当 为正有理数时，有多4组解，分别对应4个开普勒-庞索特多面体。

历史

  • 14世纪Paolo Uccello的画作出现了小星形十二面体。
  • 15世纪Wenzel Jamnitzer发现小星形十二面体和大星形十二面体。
  • 1619年开普勒重新发现了小星形十二面体和大星形十二面体，并将它们和正多面体连系起来。
  • 1809年路易斯·庞索发现了大十二面体和大二十面体。因此这些多面体以开普勒和庞索命名。
  • 1859年阿瑟·凯莱敲定了这些形状的名字。[1]

参见

  • 正多面体
  • 星形多面体

参考文献

  1. ^ Cayley, Arthur. On Poinsot's Four New Regular Solids [论庞索的四种新正立体]. Phil. Mag. 1859, 17: 123–127 and 209. 
  1. J. Bertrand, Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46 (1858), pp. 79–82, 117.
  2. Augustin-Louis Cauchy, Recherches sur les polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
  3. Arthur Cayley, On Poinsot's Four New Regular Solids. Phil. Mag. 17, pp. 123–127 and 209, 1859.
  4. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetry of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 24, Regular Star-polytopes, pp. 404–408)
  5. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
    • (Paper 1) H.S.M. Coxeter, The Nine Regular Solids [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
    • (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
  6. P. Cromwell, Polyhedra, Cabridgre University Press, Hbk. 1997, Ppk. 1999.
  7. Theoni Pappas, (The Kepler–Poinsot Solids) The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 113, 1989.
  8. Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.
  9. Lakatos, Imre; Proofs and Refutations, Cambridge University Press (1976) - discussion of proof of Euler characteristic
  10. Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press. 1983. ISBN 0-521-54325-8. , pp. 39–41.
  11. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 3)
  12. Anthony Pugh. Polyhedra: A Visual Approach. California: University of California Press Berkeley. 1976. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 8: Kepler Poisot polyhedra