伴随表示

设 G 是一个李群，${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  是它的李代数（我们将其等价于 G 中恒同元素的切空间 T_eG）。利用方程 ${\displaystyle \Psi (g)=\Psi _{g}}$  对 g 属于 G，定义一个映射

${\displaystyle \Psi :G\to \mathrm {Aut} (G),\,}$ 

这里 ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$  是 G 的自同构群而自同构 ${\displaystyle \Psi _{g}}$  定义为

${\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}\,}$  对所有 h 属于 G。

从而 Ψ_g 在恒同处的微分是李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的一个自同构。我们记这个映射为 Ad_g：

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}.\,}$ 

所谓 Ad_g 是一个李代数自同构是说 Ad_g 是 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的一个保持李括号的线性变换。映射

${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ 

将 g 映为 Ad_g 称为 G 的伴随表示（adjoint representation）。这确实是 G 的一个表示因为 ${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$  是 ${\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}$  的一个李子群且如上伴随映射是李群同态。伴随表示的维数与群 G 的维数相同。

李代数的伴随表示

我们可以由李群 G 的一个表示通过在恒同处取导数变为它的李代数的表示。取伴随映射的导数

${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,}$ 

给出李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的伴随表示：

${\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}}).\,}$ 

这里 ${\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})}$  是 ${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$  的李代数，可以与 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  上的导子代数等同。李代数的伴随表示与这个代数的结构有基本的联系。特别地，我们可以证明

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}$ 

对所有 ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$  成立。详情请见李代数的伴随表示。

• 如果 G 是一个 n 维阿贝尔群，G 的伴随表示是n 维平凡表示。
• 如果 G 是一个矩阵李群（即 GL(n,C) 的一个闭子群），则它的李代数是一个以交换子作李括号的 n×n 矩阵代数（即 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$  的子代数）。此时，伴随映射由 Ad_g(x) = gxg⁻¹ 给出。
• 如果 G 是 SL₂(R)（行列式为 1 的 2×2 实矩阵），G 的李代数由迹 0 实 2×2 矩阵组成。这个表示等价于 G 在两个变量二次型空间上通过线性替换给出的作用。

下表总结了定义中提到的不同映射的性质

G 在伴随映射下的像记为 Ad_G。如果 G 连通，则伴随表示的核与 Ψ 的核相同，就是 G 的中心。从而，如果 G 中心平凡，则连通李群 G 的伴随表示是忠实的。进一步，如果 G 不连通，伴随映射的核是 G 的单位分支 G₀ 的中心化子。由第一同构定理我们有

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{G}\cong G/C_{G}(G_{0}).\,}$ 

如果 G 半单，伴随表示的非零权组成一个根系。为了说明这是怎么回事，考虑特例 G=SL_n(R)。

我们可取对角矩阵 diag(t₁,...,t_n) 的群是 G 的极大环面 T。用 T 中元素的共轭作用为

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}$ 

从而 T 在 G 的李代数的对角部分上的作用平凡，在非对角元素上有本征向量 t_it_j^-1。G 的根是权 diag(t₁,...,t_n)→t_it_j^-1。这是 G=SL_n(R) 的根系作为e_i−e_j 形式的向量集合的标准描述之说明。

伴随表示也能对任何域上的代数群定义。

余伴随表示（co-adjoint representation）是伴随表示的逆步表示。亚历山大·卡里洛夫（Alexandre Kirillov）观察到任何向量在余伴随表示中的轨道是一个辛流形。按照表示论中称之为轨道方法的哲学（另见卡里洛夫特征标公式（Kirillov character formula）），一个李群 G 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群时最密切。

• Fulton, William; Harris, Joe, Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics 129, New York: Springer-Verlag, 1991, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6 
• Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222, Springer-Verlag( reprinted by World Publishing Corporation, Beijing), 2004, ISBN 978-7-5062-8297-0