辛流形

数学上，一个辛流形是一个装备了一个闭、非退化2-形式ω的光滑流形，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学的抽象表述中的流形的余切丛自然的出现，例如在经典力学的哈密顿表述中，该领域的一个主要原因之一：一个系统的所有组态的空间可以用一个流形建模，而该流形的余切丛描述了该系统的相空间。

一个辛流形上的任何实值可微函数H可以用作一个能量函数或者叫哈密顿量。和任何一个哈密顿量相关有一个哈密顿向量场；该哈密顿向量场的积分曲线是哈密顿-雅可比方程的解。哈密顿向量场定义了辛流形上的一个流场，称为哈密顿流场或者叫辛同胚。根据刘维尔定理，哈密顿流保持相空间的体积形式不变。

线性辛流形

有一个标准“局部”模型，也就是R2n，其中ωi,n+i = 1; ωn+i,i = -1; ωj,k = 0 对于所有 i = 0,...,n-1; j,k=0,...,2n-1 (k ≠ j+n and j ≠ k+n)。这是一个线性辛空间的例子。参看辛向量空间。一个称为达布定理的命题表明局部来看每个辛流形都和这个简单的辛流形相似。

体积形式

从定义可以直接得到每个辛流形M都是偶数维2n;这是因为ωn是无处为0的形式，辛体积形式。由此可以得到，每个辛流形是有一个标准的定向的，并且有一个标准的测度，刘维尔测度（经常重整为ωn / n!）。

切触流形

和辛流形紧密相关的有一个奇数维流形，称为切触流形。每个2n+1-维切触流形(M, α)给出一个2n+2-维辛流形(M × R, d(et α)).

拉格朗日子流形

辛流形的子流形有两个自然的几何概念，它们是辛子流形（可以是任何偶数维）和拉格朗日子流形（一半维度），其中辛流形要导出该子流形上的一个辛形式，而辛流形限制到拉格朗日子流形的切空间上时为0。拉格朗日子流形自然地出现在很多物理和几何的情况中；例如，辛同胚的图像在乘积辛流形(M × M, ω × −ω)上是拉格朗日子流形。

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参考文献

  • Dusa McDuff and D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
  • Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 3.2.