内射模

一个环 ${\displaystyle R}$  上的左模 ${\displaystyle Q}$  若满足以下等价条件，则称之为内射模：

• 若 ${\displaystyle Q}$  是另一个左 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$  的子模，则存在另一个子模 ${\displaystyle R\subset M}$  使得 ${\displaystyle M=R\oplus Q}$ 。
• 若 ${\displaystyle f:X\to Y}$  是左 ${\displaystyle R}$ -模的单射，${\displaystyle g:X\to Q}$  为同态，则存在同态 ${\displaystyle h:Y\to Q}$  使得 ${\displaystyle h\circ f=g}$ 。图示如下：

• 任何短正合序列 ${\displaystyle 0\to Q\to M\to K\to 0}$  都分裂。
• 函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,Q)}$  为正合函子。

右模的定义类此。抽象地说，内射模乃是模范畴中的内射对象。

• 零模是内射模的平凡例子。
• 设 ${\displaystyle R}$  为域，则任何 ${\displaystyle R}$ -模（即 ${\displaystyle R}$ -向量空间）都是内射模，此点可由基的性质证明。
• 设 ${\displaystyle G}$  为紧群（例如有限群），${\displaystyle k}$  为特征为零的域。根据紧群的表示理论，可知任何表示的子表示都是其直和项；若翻译为模的语言，即是：群代数 ${\displaystyle kG}$  上的所有模都是内射模。
• 设 ${\displaystyle A}$  为域 ${\displaystyle k}$  上含单位元的有限维结合代数。则逆变函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(-,k)}$  给出有限生成左 ${\displaystyle A}$ -模与有限生成右 ${\displaystyle k}$ -模的对偶性。因此，有限生成的左 ${\displaystyle A}$ -模在同构的意义下皆可写作 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(P,k)}$ ，其中 ${\displaystyle P}$  是某个有限生成的投射右 ${\displaystyle A}$ -模。
• 在一般的环上也存在充足的（在内射分解的意义下）投射模，以下将述及相关理论。初步的例子包括：${\displaystyle \mathbb {Q} }$  对加法形成内射 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模。群 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  （${\displaystyle n>1}$ ）是内射 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ -模，而非内射 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模。
• 若一个环作为它自身的左模是内射的，就称为一个左自内射环（英语：left self-injective ring）。右自内射环可对称的定义。半单环，整数的剩余类环是自内射环。一个左自内射环不一定是右自内射的。

内射模的直积（包括无穷直积）仍是内射模，内射模的有限直和仍为内射模。一般而言，内射模的子模、商模或无穷直和并不一定是内射模。

Baer 在其论文中证明了一个有用的结果，通常称作 Baer 判准：一个左 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle Q}$  是内射模当且仅当定义在任一理想 ${\displaystyle I}$  上的态射 ${\displaystyle I\to Q}$  都能延拓到整个 ${\displaystyle R}$  上。

利用此判准，可证明主理想域 ${\displaystyle R}$  上的模 ${\displaystyle Q}$  是内射模当且仅当 ${\displaystyle Q}$  可除，即：对任何 ${\displaystyle r\neq 0\in R.\;q\in Q}$ ，存在 ${\displaystyle q'\in Q}$  使得 ${\displaystyle rq'=q}$ ，由此可证 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  是内射 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模，向量空间都是内射模。

最重要的内射模当属 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ：它是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模范畴中的内射上生成元，换言之，这是内射模，而且任何 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模皆可嵌入某个 ${\displaystyle (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{a}}$  中，其中 ${\displaystyle a}$  是够大的基数。由此可知任何 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模皆可嵌入某个内射 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模。此性质对任意环 ${\displaystyle R}$  上的左模都成立，要点在于利用 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$  的特性构造左 ${\displaystyle R}$ -模范畴中的内射上生成元。

我们也可以定义模的内射包（基本上是包含一个模的最小内射模）。任意模 ${\displaystyle M}$  都有内射分解，这是形式如下的正合序列：

${\displaystyle 0\to M\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots I^{n}\to \cdots }$ 

其中每个 ${\displaystyle I^{j}}$  都是内射的。内射分解可以用以定义模的内射维度（基本上是内射分解的最短长度，可能是无限的）及导函子。

不可分解内射模的自同态环是局部环。

• F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992.

• 模论
• 投射模