卡西米尔不变量

最常用的卡西米尔元是二次的。其最易定义，因此先在下文给出。然而，也有更高次的卡西米尔不变量，其对应高次的对称齐次多项式，这些不变量在最后定义。

二次卡西米尔元

设 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  为一个 ${\displaystyle n}$  维半单李代数。设 B 为 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  上非奇异的二次型，并要求 B 在 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的伴随作用下不变，即对 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  中的任意 X,Y,Z, 都有 ${\displaystyle B(ad_{X}Y,Z)+B(Y,ad_{X}Z)=0.}$  （例如，可取 B 为基灵型。） 设

${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$ 

为 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的基，以及

${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}$ 

为 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  关于 B 的对偶基，则 B 的卡西米尔不变量 ${\displaystyle \Omega }$  是泛包络代数 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$  的元素

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}$ 

尽管上述定义取决于选取的基，可以证明所得的 Ω 与所选的基无关。另一方面，不同的二次型 B 可以给出不同的 Ω. B 的不变性，说明卡西米尔元与李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的任何元素都可交换，因此是泛包络代数 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$  的中心的元素。^[2]

线性表示和光滑作用的卡西米尔元

给定 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  在向量空间 V 上的李代数表示（英语：Lie algebra representation） ρ （允许无穷维），将 ρ(Ω) 称为 ρ 的卡西米尔不变量，其为 V 上的线性算子，且由下式给出：

${\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).}$ 

此处假定了 B 为基灵型，否则必须指明 B.

该构造的特定形式，在微分几何和大域分析（英语：Global Analysis）中有重要作用。假设连通李群 G 的李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  作用在微分流形 M 上，则在 M 的连续函数空间上，有 G 相应的表示 ρ. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的元素均由 M 上的一阶微分算子表示，于是，上式给出 ρ 的卡西米尔元，其为 M 上的二阶微分算子，且在 G 的作用下不变。

更进一步，若 M 有度量张量，使得 G 的元素作为 M 的保距变换，可递地作用在 M 上，且一点的稳定子 G_x 不可约地作用在切空间 T_xM 上，则 ρ 的卡西米尔元是该度量的拉普拉斯算子的倍数。

也可定义更一般的卡西米尔不变量，其于弗雷德霍姆理论（英语：Fredholm theory）研究伪微分算子时用到。

一般情况

每个卡西米尔算子，都对应伴随表示的对称代数（英语：Symmetric algebra） ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}.}$  的对称齐次多项式。换言之，任何一个卡西米尔算子都具有下列形式：

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k},}$ 

其中 m 是对称张量 ${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$  的阶，且 ${\displaystyle X_{i}}$  组成 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的基。域 K上的多项式环 ${\displaystyle K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]}$  内，有 m 元对称齐次多项式

${\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}}$ 

与该卡西米尔算子对应。庞卡莱–伯克霍夫–维特定理（英语：Poincaré–Birkhoff–Witt theorem）给出了泛包络代数的显式构造，由此可以证明上述的对应关系。

然而，并非每个对应张量（或对称齐次多项式）都与一个卡西米尔算子对应。其必须与李括号显见地可交换，即对每个基向量 ${\displaystyle X_{i}}$ , 都满足

${\displaystyle [C_{(m)},X_{i}]=0}$ .

考虑结构常数 f_ij^k，其满足

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}.}$ 

于是对于满足上述条件的对称多项式，可得

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0.}$ 

此为伊斯拉埃尔·盖尔范德所得的结果。^[3] 由该交换关系，可知卡西米尔元与李代数中的任意元素都可交换，从而卡西米尔元是在泛包络代数的中心里内。得益于此，李代数表示（英语：Lie algebra representation）能以其卡西米尔元的特征值来分类。

注意上述对称多项式的线性和仍然是在中心里。更甚者，诸卡西米尔元组成中心的一组基。若一个半单李代数的秩为 r, 即其嘉当子代数的维数为 r, 则其恰有 r 个卡西米尔元。

唯一性

一个单李代数中，每个不变二次型皆为基灵型的倍数，所以对应的卡西米尔元唯一（允许相差一个常数的意义下）。对于一般的半单李代数，考虑其不变二次型组成的空间。半单李代数是若干单李代数的直和，因此该二次型空间中，对应每个单分量，恰有一个基向量。故卡西米尔元组成的空间中，也对应每个单分量，恰有一个基向量。

与 G 上拉普拉斯算子的关系

若 ${\displaystyle G}$  为李群，且其李代数为 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ , 则 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  上的不变二次型对应 ${\displaystyle G}$  上的双不变黎曼度量。并且， ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的泛包络代数等同于 ${\displaystyle G}$  上的左不变微分算子空间。在此等同关系下，${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  上双线性型的卡西米尔元，对应 ${\displaystyle G}$  关于双不变度量的拉普拉斯－贝尔特拉米算子。

推广

卡西米尔算子是李代数的泛包络代数的中心的特殊二次元素。换言之，卡西米尔算子是一个微分算子，其与李代数的生成元皆可交换。泛包络代数中心里，每个二次元素均是某个二次型的卡西米尔元。然而，中心内可以有其他（非二次）的元素。

由拉卡定理^[4]，半单李代数的泛包络代数中心的维数，等于该李代数的秩。在任意的半单李群（即其李代数为半单李代数）上，可以利用卡西米尔元，定义群上的拉普拉斯算子。然而，按照上述关于秩的结论，当秩大于 1 时，无法类比地定义唯一的拉普拉斯算子。

根据定义，泛包络代数的中心内，任何元素都与整个代数的元素可交换。由舒尔引理，任何既约表示（英语：Irreducible representation）中，卡西米尔算子必为恒等映射的倍数。该比例常数适用于李代数表示的分类（也就适用于李群表示的分类）。物理上，质量和自旋均属该种常数，并且量子力学中许多量子数亦然。

考虑三维欧几里得空间的旋转群 SO(3). 其李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$  的秩为 1, 因此仅得一个独立的卡西米尔元。旋转群的基灵型为克罗内克δ, 故相应的卡西米尔不变量正是李代数的生成元 ${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}}$  的平方和。换言之，卡西米尔元由等式

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}$ 

给出。 考虑 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$  的一个不可约表示。记其中 ${\displaystyle L_{z}}$  的最大特征值为 ${\displaystyle \ell }$ , 则 ${\displaystyle \ell }$  的可能取值为 ${\displaystyle 0,1/2,1,3/2,\ldots .}$  卡西米尔元的不变性可推出其为恒等算子 I 的倍数。该常数可以具体计算出，即：^[5]

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.}$ 

在量子力学中，常数 ${\displaystyle \ell }$  称为总角动量量子数。对于旋转群的有限维矩阵取值表示，${\displaystyle \ell }$  总为整数或半整数（奇数的一半）。倘为整数，则该表示称为玻色子表示（英语：bosonic representation)，否则称为费米子表示（英语：fermionic representation)。

给定 ${\displaystyle \ell }$ , 得到的矩阵表示是 ${\displaystyle (2\ell +1)}$  维的。例如 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$  的三维表示对应于 ${\displaystyle \ell \,=\,1}$ , 由下列的生成元给出：

${\displaystyle L_{x}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};\quad L_{y}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};\quad L_{z}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}$ 

其中照物理学常用的约定加入了 ${\displaystyle i}$  因子，使得诸生成元皆为自伴算子。

由此，可以手算二次卡西米尔元，结果为

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$ 

当 ${\displaystyle \ell \,=\,1}$ 时，${\displaystyle \ell (\ell +1)\,=\,2}$ , 故此例子与前段的一般结果一致。类似地，二维的表示以泡利矩阵作基，对应物理上自旋为 1/2 的粒子。

由于卡西米尔元 ${\displaystyle \Omega }$  在泛包络代数的中心内，其在一个单模（该代数的直和分解的一个分量）上的作用是乘上一个常数。设 ${\displaystyle \langle ,\rangle }$  为 ${\displaystyle \Omega }$  定义采用的对称非退化二次型。记 ${\displaystyle L(\lambda )}$  为具有最高权 ${\displaystyle \lambda }$  的元素组成的有限维模（称为该表示的最高权模）。则卡西米尔元 ${\displaystyle \Omega }$  在 ${\displaystyle L(\lambda )}$  的作用为乘常数

${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,}$ 

其中 ${\displaystyle \rho }$  为所有正根之和之半。^[6]

若 ${\displaystyle L(\lambda )}$  非平凡（即 ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ), 则上述常数非零。原因是，由于 ${\displaystyle \lambda }$  是优控的（英语：dominant, 即与任意正根的内积皆非负），若 ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ，则 ${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0}$ , 且 ${\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0}$ , 故 ${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0}$ . 此结果适用于魏尔完全可约性定理（英语：Weyl's theorem on complete reducibility）的证明。亦可不使用上述公式，而采用更抽象的嘉当判别法（英语：Cartan's criterion）证明该常数非零。^[7]

• 哈里希·钱德拉同构（英语：Harish-Chandra isomorphism）
• 包立－鲁班斯基伪向量（英语：Pauli–Lubanski pseudovector）

• Hall, Brian C., Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics 267, Springer, 2013 
• Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666 
• Humphreys, James E., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics 9 Second printing, revised, New York: Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90053-5 

• Jacobson, Nathan. Lie algebras. Dover Publications. 1979: 243–249. ISBN 0-486-63832-4.