卡西米尔不变量

数学里,卡西米尔不变量(又称卡西米尔元卡希米尔算子)是李代数泛包络代数中心的一个特别的元素。典型的例子是角动量算符的平方 J 2, 一个三维旋转群的卡西米尔不变量。

卡西米尔元以亨德里克·卡西米尔命名。1931年,他确立了这个概念,以用在他对刚体动力学的描述当中。[1]

定义

最常用的卡西米尔元是二次的。其最易定义,因此先在下文给出。然而,也有更高次的卡西米尔不变量,其对应高次的对称齐次多项式,这些不变量在最后定义。

二次卡西米尔元

  为一个  半单李代数。设 B  上非奇异的二次型,并要求 B 伴随作用下不变,即对   中的任意 X,Y,Z, 都有   (例如,可取 B基灵型。) 设

 

 ,以及

 

  关于 B 的对偶基,则 B卡西米尔不变量   是泛包络代数   的元素

 

尽管上述定义取决于选取的基,可以证明所得的 Ω 与所选的基无关。另一方面,不同的二次型 B 可以给出不同的 Ω. B 的不变性,说明卡西米尔元与李代数   的任何元素都可交换,因此是泛包络代数   的中心的元素。[2]

线性表示和光滑作用的卡西米尔元

给定   在向量空间 V 上的李代数表示英语Lie algebra representation ρ (允许无穷维),将 ρ(Ω) 称为 ρ 的卡西米尔不变量,其为 V 上的线性算子,且由下式给出:

 

此处假定了 B 为基灵型,否则必须指明 B.

该构造的特定形式,在微分几何大域分析英语Global Analysis中有重要作用。假设连通李群 G 的李代数   作用在微分流形 M 上,则在 M 的连续函数空间上,有 G 相应的表示 ρ.   的元素均由 M 上的一阶微分算子表示,于是,上式给出 ρ 的卡西米尔元,其为 M 上的二阶微分算子,且在 G 的作用下不变。

更进一步,若 M度量张量,使得 G 的元素作为 M 的保距变换,可递地作用在 M 上,且一点的稳定子 Gx 不可约地作用在切空间 TxM 上,则 ρ 的卡西米尔元是该度量的拉普拉斯算子的倍数。

也可定义更一般的卡西米尔不变量,其于弗雷德霍姆理论英语Fredholm theory研究伪微分算子时用到。

一般情况

每个卡西米尔算子,都对应伴随表示对称代数英语Symmetric algebra   的对称齐次多项式。换言之,任何一个卡西米尔算子都具有下列形式:

 

其中 m 是对称张量   的阶,且   组成  。域 K上的多项式环   内,有 m 元对称齐次多项式

 

与该卡西米尔算子对应。庞卡莱–伯克霍夫–维特定理英语Poincaré–Birkhoff–Witt theorem给出了泛包络代数的显式构造,由此可以证明上述的对应关系。

然而,并非每个对应张量(或对称齐次多项式)都与一个卡西米尔算子对应。其必须与李括号显见地可交换,即对每个基向量  , 都满足

 .

考虑结构常数 fijk,其满足

 

于是对于满足上述条件的对称多项式,可得

 

此为伊斯拉埃尔·盖尔范德所得的结果。[3] 由该交换关系,可知卡西米尔元与李代数中的任意元素都可交换,从而卡西米尔元是在泛包络代数的中心里内。得益于此,李代数表示英语Lie algebra representation能以其卡西米尔元的特征值来分类。

注意上述对称多项式的线性和仍然是在中心里。更甚者,诸卡西米尔元组成中心的一组基。若一个半单李代数的秩为 r, 即其嘉当子代数的维数为 r, 则其恰有 r 个卡西米尔元。

性质

唯一性

一个单李代数中,每个不变二次型皆为基灵型的倍数,所以对应的卡西米尔元唯一(允许相差一个常数的意义下)。对于一般的半单李代数,考虑其不变二次型组成的空间。半单李代数是若干单李代数的直和,因此该二次型空间中,对应每个单分量,恰有一个基向量。故卡西米尔元组成的空间中,也对应每个单分量,恰有一个基向量。

与 G 上拉普拉斯算子的关系

  为李群,且其李代数为  , 则   上的不变二次型对应   上的双不变黎曼度量。并且,  泛包络代数等同于   上的左不变微分算子空间。在此等同关系下,  上双线性型的卡西米尔元,对应   关于双不变度量的拉普拉斯-贝尔特拉米算子

推广

卡西米尔算子是李代数的泛包络代数中心的特殊二次元素。换言之,卡西米尔算子是一个微分算子,其与李代数的生成元皆可交换。泛包络代数中心里,每个二次元素均是某个二次型的卡西米尔元。然而,中心内可以有其他(非二次)的元素。

拉卡定理[4]半单李代数的泛包络代数中心的维数,等于该李代数的秩。在任意的半单李群(即其李代数为半单李代数)上,可以利用卡西米尔元,定义群上的拉普拉斯算子。然而,按照上述关于秩的结论,当秩大于 1 时,无法类比地定义唯一的拉普拉斯算子。

根据定义,泛包络代数的中心内,任何元素都与整个代数的元素可交换。由舒尔引理,任何既约表示英语Irreducible representation中,卡西米尔算子必为恒等映射的倍数。该比例常数适用于李代数表示的分类(也就适用于李群表示的分类)。物理上,质量和自旋均属该种常数,并且量子力学中许多量子数亦然。

例:

考虑三维欧几里得空间旋转群 SO(3). 其李代数   的秩为 1, 因此仅得一个独立的卡西米尔元。旋转群的基灵型为克罗内克δ, 故相应的卡西米尔不变量正是李代数的生成元   的平方和。换言之,卡西米尔元由等式

 

给出。 考虑   的一个不可约表示。记其中   的最大特征值为  , 则   的可能取值为   卡西米尔元的不变性可推出其为恒等算子 I 的倍数。该常数可以具体计算出,即:[5]

 

量子力学中,常数   称为总角动量量子数。对于旋转群的有限维矩阵取值表示  总为整数或半整数(奇数的一半)。倘为整数,则该表示称为玻色子表示(英语:bosonic representation),否则称为费米子表示(英语:fermionic representation)。

给定  , 得到的矩阵表示是   维的。例如   的三维表示对应于  , 由下列的生成元给出:

 

其中照物理学常用的约定加入了   因子,使得诸生成元皆为自伴算子

由此,可以手算二次卡西米尔元,结果为

 

 时, , 故此例子与前段的一般结果一致。类似地,二维的表示以泡利矩阵作基,对应物理上自旋为 1/2 的粒子。

特征值

由于卡西米尔元   在泛包络代数的中心内,其在一个单模(该代数的直和分解的一个分量)上的作用是乘上一个常数。设    定义采用的对称非退化二次型。记   为具有最高权   的元素组成的有限维模(称为该表示的最高权模)。则卡西米尔元    的作用为乘常数

 

其中   为所有正根之和之半。[6]

  非平凡(即  ), 则上述常数非零。原因是,由于   是优控的(英语:dominant, 即与任意正根的内积皆非负),若  ,则  , 且  , 故  . 此结果适用于魏尔完全可约性定理英语Weyl's theorem on complete reducibility的证明。亦可不使用上述公式,而采用更抽象的嘉当判别法英语Cartan's criterion证明该常数非零。[7]

参见

参考文献

  1. ^ Oliver, David. The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world. Springer. 2004: 81. ISBN 978-0-387-40307-6. 
  2. ^ Hall 2015 Proposition 10.5
  3. ^ Xavier Bekaert, "Universal enveloping algebras and some applications in physics页面存档备份,存于互联网档案馆)" (2005) Lecture, Modave Summer School in Mathematical Physics.
  4. ^ Racah, Giulio. Group theory and spectroscopy. Springer Berlin Heidelberg. 1965. 
  5. ^ Hall 2013 Proposition 17.8
  6. ^ Hall 2015 Proposition 10.6
  7. ^ Humphreys 1978 Sections 4.3 and 6.2
  • Hall, Brian C., Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics 267, Springer, 2013 
  • Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666 
  • Humphreys, James E., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics 9 Second printing, revised, New York: Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90053-5 

延伸阅读

  • Jacobson, Nathan. Lie algebras. Dover Publications. 1979: 243–249. ISBN 0-486-63832-4.