自伴算子

在量子力学里，自伴算子，又称为自伴算符，或厄米算符（Hermitian operator），是一种等于自己的厄米共轭的算符。给予算符${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$ 和其伴随算符${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$ ，假设${\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$  ，则称${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$ 为厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。

可观察量

由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量${\displaystyle O\,\!}$ 的期望值是实值的：

${\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}\,\!}$ 。

对于任意量子态${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$ ，这关系都成立；

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}\,\!}$ 。

根据伴随算符的定义，假设${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$ 是${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$ 的伴随算符，则${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!}$ 。因此，

${\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$ 。

这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$ ，都是厄米算符。

可观察量，像位置，动量，角动量，和自旋，都是用作用于希尔伯特空间的自伴算符来代表。哈密顿算符${\displaystyle {\hat {H}}\,\!}$ 是一个很重要的自伴算符，表达为

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \psi \,\!}$ 是粒子的波函数，${\displaystyle \hbar \,\!}$ 是约化普朗克常数，${\displaystyle m\,\!}$ 是质量，${\displaystyle V\,\!}$ 是位势。

哈密顿算符所代表的哈密顿量是粒子的总能量，一个可观察量。

动量是一个可观察量，动量算符应该也是厄米算符：选择位置空间，量子态${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$ 的波函数为${\displaystyle \psi (x)\,\!}$ ，

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\ dx=\left.{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{*}\psi \right|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)^{*}\psi \ dx=\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {p}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!}$ 。

对于任意量子态${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$ ，${\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}^{\dagger }\,\!}$ 。所以，动量算符确实是一个厄米算符。

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106.   引文格式1维护：冗余文本 (link)