谱定理

埃尔米特矩阵

从在具有标准埃尔米特内积的有限维实或者复内积空间${\displaystyle V}$ 上的埃尔米特矩阵${\displaystyle A}$ 开始；埃尔米特条件意味着

${\displaystyle \langle Ax,\,y\rangle =\langle x,\,Ay\rangle }$ 

对于所有${\displaystyle V}$ 的元素${\displaystyle x,y}$ 成立。

一个等价的条件是${\displaystyle A^{*}=A}$ ，其中${\displaystyle A^{*}}$ 是${\displaystyle A}$ 的共轭转置。若${\displaystyle A}$ 为实矩阵，这等价于${\displaystyle A^{T}=A}$ （也即，${\displaystyle A}$ 是对称矩阵）。埃尔米特矩阵的特征值是实数。

先回顾一下线性算子A的特征向量是（非零）向量${\displaystyle x}$ 使得${\displaystyle Ax=\lambda x}$ 对于某个标量${\displaystyle \lambda }$ 成立。值${\displaystyle \lambda }$ 是相应的特征值。

定理：当${\displaystyle A}$ 是埃尔米特矩阵, 存在标准正交基${\displaystyle V}$ ，由${\displaystyle A}$ 的特征向量组成。且${\displaystyle A}$ 每个特征值都是实数。

证明

这里给出复数情况的证明概要。

根据代数基本定理，任何方形虚数项矩阵存在至少一个特征值。若${\displaystyle A}$ 为埃尔米特矩阵，有特征向量${\displaystyle e_{1}}$ ，考虑子空间${\displaystyle K=\mathrm {span} \left\{e_{1}\right\}^{\perp }}$ ，也即${\displaystyle e_{1}}$ 的正交补空间。根据埃尔米特性，${\displaystyle K}$ 为${\displaystyle A}$ 的不变子空间。在${\displaystyle K}$ 上采用同样的论证表明${\displaystyle A}$ 有特征向量${\displaystyle e_{2}\in k}$ 。通过有限归纳法可以完成证明。

谱定理对于 n 维欧几里得空间上的对称矩阵也成立，但是特征向量的存在性更难一些。实对称矩阵有实特征值，因此特征向量有实项。

若取${\displaystyle A}$ 的特征向量为标准正交基，${\displaystyle A}$ 在这个基上的表示是对角的。等价地，${\displaystyle A}$ 可以写作互相正交的投影的线性组合，称为它的谱分解。令

${\displaystyle V_{\lambda }=\{\,v\in V:Av=\lambda v\,\}}$ 

为对应于特征值${\displaystyle \lambda }$ 的特征空间。注意该定义不依赖于特定特征向量的选择。${\displaystyle V}$ 是空间${\displaystyle V_{\lambda }}$ 的直积，其中下标取遍特征值。令${\displaystyle P_{\lambda }}$ 为到${\displaystyle V_{\lambda }}$ 上的正交投影，而${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}}$ 为${\displaystyle A}$ 的特征值，谱分解可以写作：

${\displaystyle A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}.}$ 

谱分解是舒尔分解的特例。也是奇异值分解的特例。

正规矩阵

谱定理可以推广到更为一般的矩阵。令${\displaystyle A}$ 为有限维内积空间上的算子。${\displaystyle A}$ 称为正规算子若${\displaystyle A^{*}\ A=A\ A^{*}}$ 。可以证明${\displaystyle A}$ 正规当且仅当它可以酉对角化：根据舒尔分解，${\displaystyle A=U\ T\ U^{*}}$ ，其中${\displaystyle U}$ 是酉矩阵而${\displaystyle T}$ 是上三角阵。 因为${\displaystyle A}$ 正规，${\displaystyle T\ T^{*}=T^{*}\ T}$ ，所以${\displaystyle T}$ 必定是对角的。反过来也是显然的。

换言之，${\displaystyle A}$ 正规当且仅当存在酉矩阵${\displaystyle U}$ 使得

${\displaystyle A=U\Lambda U^{*}\;}$ 

其中${\displaystyle \Lambda }$ 是对角矩阵，其各项为${\displaystyle A}$ 的特征值。${\displaystyle U}$ 的列向量是${\displaystyle A}$ 的特征向量，而且他们是单位正交的。和埃尔米特的情况不同，${\displaystyle A}$ 的对角项未必为实数。

一般来讲，希尔伯特空间中的关于紧自伴算子的谱定理和有限维的基本一样。

定理：设${\displaystyle A}$ 为希尔伯特空间${\displaystyle V}$ 上的紧自伴算子。存在${\displaystyle V}$ 的标准正交基，由${\displaystyle A}$ 的特征向量构成。每个特征值都是实数。

对于埃尔米特矩阵，关键在于存在至少一个非零向量。要证明这一点，不能靠行列式来表明特征值的存在，而是要使用极大化论证，类似于特征值的变分表述。上述谱定理对于实或虚希尔伯特空间都成立。

如果紧性假设被取消，则未必每个自伴算子都有特征。

接下来的推广是希尔伯特空间${\displaystyle V}$ 上的有界自伴算子${\displaystyle A}$ 。这样的算子可能没有特征值：例如令${\displaystyle A}$ 为${\displaystyle L^{2}[0,1]}$ 上乘以${\displaystyle t}$ 的算子，也即

${\displaystyle [A\varphi ](t)=t\varphi (t).\;}$ 

定理：令${\displaystyle A}$ 为希尔伯特空间${\displaystyle H}$ 上有界自伴算子。则存在测度空间${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 和${\displaystyle X}$ 上实值可测函数${\displaystyle f}$ ，以及酉算子${\displaystyle U:H\rightarrow {L^{2}}_{\mu }(X)}$ 使得

${\displaystyle U^{*}TU=A\;}$ 

其中${\displaystyle T}$ 是乘法算子：

${\displaystyle [T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).\;}$ 

这是称为算子理论的泛函分析这个巨大的研究领域的起点。

对于希尔伯特空间上的有界正规算子也有一个类似的谱定理。结论中唯一的区别在于${\displaystyle f}$ 可能是复值的。

谱定理的另一个表述形式将算子${\displaystyle A}$ 表达为在算子谱上的坐标函数关于投影值测度的积分。当该正规算子是紧的，这个版本的谱定理退化为上面的有限维谱定理，只是算子表达为可能为无限多的投影的线性组合。

很多数学分析中的重要线性算子，例如微分算子，是无界的。对于这类情况的自伴算子也有一个谱定理。例如，任何常系数微分算子酉等价于乘法算子。事实上，实现这一等价的酉算子就是傅立叶变换；该乘法算子是一类傅立叶乘子。

• 矩阵分解
• 标准型
• 若尔当分解，谱分解是其特例。
• 奇异值分解，谱定理到任意矩阵的推广。
• 矩阵特征分解

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer Verlag, 1997
• Paul Halmos, "What Does the Spectral Theorem Say?", American Mathematical Monthly, volume 70, number 3 (1963), pages 241–247