半单李代数

在数学中，单李代数是除了零和本身之外没有其它理想的李代数。半单李代数是指能表为单李代数的直和的李代数。若一个李代数能表为半单李代数与阿贝尔李代数的直和，则称之为约化李代数。半单李代数与约化李代数是李代数研究中的主要对象。

设 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 为李代数，其半单性有下述刻划：

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 能表为单李代数之直和。
• Killing 形式 ${\displaystyle B(x,y):=\mathrm {Tr} (\mathrm {ad} X\,\mathrm {ad} Y)}$ 非退化。
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 没有非零的阿贝尔理想。
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 没有非零的可解理想。
• ${\displaystyle \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})=(0)}$

此外，若 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 定义在零特征的域上，则可追加一项

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 半单当且仅当每个 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 的表示都是完全可约的。

半单李代数的另一个重要性质是 ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}}$，其逆未必成立。