结构常数

给定${\displaystyle r}$ 维李群${\displaystyle G}$ 上的${\displaystyle r}$ 个线性无关的右不变向量场${\displaystyle X_{i}(1\leq i\leq r)}$ ，它们构成了${\displaystyle G}$ 的李代数的一组基底。设

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=C_{ij}^{k}X_{k}}$ ，

其中${\displaystyle [,]}$ 表示李括号。可以证明${\displaystyle C_{ij}^{k}}$ 是一组常数，它们称为李群${\displaystyle G}$ 的结构常数。

李群${\displaystyle G}$ 的结构常数满足反对称性

${\displaystyle C_{ij}^{k}=-C_{ji}^{k}}$ ，

以及Jacobi恒等式

${\displaystyle C_{ij}^{k}C_{lm}^{i}+C_{il}^{k}C_{mj}^{i}+C_{im}^{k}C_{jl}^{i}=0}$ 。

反过来，如果有一组常数${\displaystyle C_{ij}^{k},1\leq i,j,k\leq r}$ 满足上述两条性质，那么一定存在一个局部李群以这组常数为结构常数。