库塔-儒可夫斯基定理

此定理和在二维流场中的翼型（或是翼展无穷大的圆柱）有关，可以计算单位翼展下的升力。当环量${\displaystyle \Gamma \,}$ 已知，其升力${\displaystyle L\,}$ 除以翼展下的单位翼展升力（或表示为${\displaystyle L'\,}$ ）可以表示为以下的方程式^[3]：

${\displaystyle L^{\prime }=-\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma ,\,}$

(1)

其中

${\displaystyle \rho _{\infty }\,}$ 及${\displaystyle V_{\infty }\,}$ 分别为流体密度及在翼型上游，远离翼型位置的流体速度，

${\displaystyle \Gamma \,}$ 为以下线积分定义的环量（逆时针为正值）

${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}V\cdot d\mathbf {s} =\oint _{C}V\cos \theta \;ds\,}$ 

上述环量是沿着一个封闭围道${\displaystyle C}$ 进行，此围道包覆着翼型或是圆柱，且沿着其正方向（逆时针）进行。其路径需在位流的范围内，不能在圆柱的边界层内。被积分式${\displaystyle V\cos \theta \,}$ 是局部流体速度沿着曲线${\displaystyle C\,}$ 切线方向的分量，且${\displaystyle ds\,}$ 为曲线${\displaystyle C\,}$ 的无穷小面积。方程式(1)是库塔-儒可夫斯基定理中的一个形式。

Kuethe和Schetzer用以下的话描述库塔-儒可夫斯基定理：^[4]

任意截面积的柱形物体，其单位长度的受力等于${\displaystyle -\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma }$ ，方向和${\displaystyle V_{\infty }.}$ 垂直。

在使用库塔-儒可夫斯基定理时，需注意环量${\displaystyle \Gamma }$ 的计算。

一个产生升力的翼型或者具有弯度，或者是在均匀的流体中以一定攻角${\displaystyle \alpha >0\,}$ （机翼弦线和平移方向的角度）平移。而且翼型需要有一个锐利的后缘。上述条件类似鸟的翅膀，有锐利的后缘，有弯度，在天空中有一定的攻角。

实际的流体是有黏性的，流体速度在翼型边缘为零，因此若考虑黏性流体，且以翼型形状为围道计算环量，其环量也为零。甚至由翼形上方及下方的流体会在后缘相会，而黏滞耗散会使流体不旋转。这称为真实流场的库塔条件。普朗特发现若雷诺数${\displaystyle Re={\frac {\rho V_{\infty }c_{A}}{\mu }}\,}$ 够大，攻角够小，翼型够薄，则流场可以分为靠近机翼小区域的黏滞层（称为边界层），以及其他区域的非黏性流。

库塔和儒可夫斯基发现在计算雷诺数够大，攻角够小，厚度够薄的翼型之压力和升力时，若假定已考虑库塔条件，可以假设整个流场是非黏性流。这称为位流理论，在实务上结果相当接近。在非黏性流施加库塔条件相当于计算环量。

简单来说，类似鸟翅膀的机翼自然会产生升力，在飞行中的流场满足库塔条件。若使用位流理论（在计算压力及升力时假设是非黏性流及无旋转流，计算阻力时用普朗特边界层来近似），要求飞行时间符合库塔条件，会得到一个由=库塔-儒可夫斯基定理和环量产生的升力，和实际的升力非常接近。

以下有二种推导方式，第一个是基于物理的直觉，较启发式的推导，第二种是比较正式及技术式的推导，需要用到向量分析及复变分析的知识。

启发式的推导

以较启发式的说法，考虑一个薄的机翼，其翼弦为${\displaystyle c}$ ，有无限长的翼展，在密度为${\displaystyle \rho }$ 的空气中移动。令翼和气流有一个攻角，使翼的一侧的气流速度为${\displaystyle V}$ ，另一侧的气流速度为${\displaystyle V+v}$ ，因此其环流为

${\displaystyle \Gamma =Vc-(V+v)c=-vc.\,}$ 

机翼两侧的压力差${\displaystyle \Delta P}$ 可以由伯努利定律求得

${\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+(P+\Delta P)={\frac {\rho }{2}}(V+v)^{2}+P,\,}$ 

${\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+\Delta P={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),\,}$ 

${\displaystyle \Delta P=\rho Vv\qquad {\text{(ignoring }}{\frac {\rho }{2}}v^{2}),\,}$ 

因此单位翼展的浮力为

${\displaystyle L=c\Delta P=\rho Vvc=-\rho V\Gamma .\,}$ 

此理论的微分版本可应用在机翼中的每一个元素，也是薄翼理论（thin-airfoil theory）的基础。

正式的推导

库塔-儒可夫斯基定理的正式推导

首先先计算任何截面积、单位长度的长条物体在流体中的受力[5]。先令单位长度的力（以下简称为力）为${\displaystyle \mathbf {F} \,}$ ，因此总受力为： ${\displaystyle \mathbf {F} =-\oint _{C}p\mathbf {n} \,ds,}$  其中C为长条物体的边缘、${\displaystyle p}$ 为流体的静压（英语：Static pressure）、${\displaystyle \mathbf {n} \,}$ 为和长条物体表面垂直的单位向量、ds是截面积边缘的弧状元素。令${\displaystyle \phi }$ 为法向量和垂直的夹角，上述力的分量为： ${\displaystyle F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\quad ,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.}$  以下是重要步骤：将上述的二维空间当作复数平面，每个向量可以用复数表示，第一个分量对应其实部数值，第二个分量对应其虚部数值，因此上述的力可以表示为： ${\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}p(\sin \phi -i\cos \phi )\,ds.}$  下一步是取力${\displaystyle F}$ 的共轭复数，再做一些处理： ${\displaystyle {\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.}$  表面元素ds和dz的变化有关： ${\displaystyle dz=dx+idy=ds(\cos \phi +i\sin \phi )=ds\,e^{i\phi }\qquad \Rightarrow \qquad d{\bar {z}}=e^{-i\phi }ds.}$  将这些代入积分中，可得： ${\displaystyle {\bar {F}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.}$  接下来为了将压力移出积分以外，应用伯努利定律。假设没有其他外在的力场，流体的质量密度为${\displaystyle \rho .}$ ，压力${\displaystyle p}$ 和速度${\displaystyle v=v_{x}+iv_{y}}$ 有以下的关系： ${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.}$  将上式代入力的积分式，可得： ${\displaystyle {\bar {F}}=-ip_{0}\oint _{C}d{\bar {z}}+i{\frac {\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}.}$  还剩下一个步骤要进行：引入${\displaystyle w=f(z),}$ ，流场的复变势函数，和速度分量的关系是${\displaystyle w'=v_{x}-iv_{y}={\bar {v}},}$ ，其中撇号表示对复数变数z的微分。速度会相切于边缘C，因此${\displaystyle v=\pm |v|e^{i\phi }.}$ ，则${\displaystyle v^{2}d{\bar {z}}=|v|^{2}dz,\,}$ ，受力的表示式可以改写为下式： ${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}w'^{2}\,dz,}$  称为布拉乌斯-恰普雷金公式（[Blasius–Chaplygin formula）。 若要得到库塔-儒可夫斯基定理，需计算上述积分的值，根据复变分析可知，一个全纯函数可以用洛朗级数来表示，根据此问题的物理特性，复变势函数${\displaystyle w}$ 的微分会如以下所示： ${\displaystyle w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\dots .}$  因为在无穷远处的速度为有限值，此函数没有其他高阶项。因此${\displaystyle a_{0}\,}$ 即为此函数在无穷远处的导数：${\displaystyle a_{0}=v_{x\infty }-iv_{y\infty }\,}$ . 下一个任务是找出${\displaystyle a_{1}\,}$ 的意义，根据留数定理可得 ${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w'\,dz.}$  再计算以下的积分： ${\displaystyle \oint _{C}w'(z)\,dz=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\mathbf {v} \,{ds}+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).}$  第一个积分即为环量，可以用${\displaystyle \Gamma .}$ 表示，第二个积分可以用以下方式计算： ${\displaystyle \oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx\right)=\oint _{C}d\psi =0.}$  此处${\displaystyle \psi \,}$ 为流函数（英语：stream function），因为边界C本身即为流线，因此在上面流函数不会变化，即${\displaystyle d\psi =0\,}$ ，因此第二个积分为零，因此： ${\displaystyle a_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi i}}.}$  复变势函数取平方： ${\displaystyle w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi iz}}+\dots .}$  将上式代入布拉乌斯-恰普雷金公式中，利用留数定理算积分： ${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\left[2\pi i{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi i}}\right]=i\rho a_{0}\Gamma =i\rho \Gamma (v_{x\infty }-iv_{y\infty })=\rho \Gamma v_{y\infty }+i\rho \Gamma v_{x\infty }=F_{x}-iF_{y}.}$  因此库塔-儒可夫斯基定理为： ${\displaystyle F_{x}=\rho \Gamma v_{y\infty }\quad ,\qquad F_{y}=-\rho \Gamma v_{x\infty }.}$

库塔-儒可夫斯基定理预测的升力是以无粘性流的势流理论为基础，但若流场是稳定且无分离的，库塔-儒可夫斯基定理的结果很接近实际的黏性流^[6]。

在推导库塔-儒可夫斯基定理时，有假设流场是无旋转流，若在物体外有自由涡流，就像许多不稳定流的情形，此流场为旋转流，在推导升力时就需要一些更复杂的理论。

• 小攻角下突然启动的流场：若是机翼突然加速，或是攻角较小的情形下突然启动的流场，在机翼后缘会连续的出现涡片（英语：vortex sheet）泄离，此时的升力是时变不稳定的。若是小攻角下启动的流场，涡片会延著平面的路径，升力系数的曲线会随时间而变化，其形式会是Wagner函数^[7]。此时最终升力会如同库塔-儒可夫斯基定理所预测的一样，但初升力只有最终升力的一半^[8]。当机翼前进七倍翼弦的距离时，其升力才会达到最终升力的90%。

• 大攻角下突然启动的流场：若攻角够大的话，机翼后缘的涡片一开始会是螺旋形的，理论升力在一开始会是无限大^[9]。一般认为升力的曲线是随时间单调递增的，但在大攻角下，会有一段很短暂的时间会有升力下降的情形。

• 大攻角下启动，有锐利的机翼前缘：若针对一片平粄，也有锐利的前缘，涡片泄离会出现在前缘，而前缘的涡片泄离有二种不同的效果：

1.若仍接近前缘，可以提升Wagner升力曲线，可以增加升力。

2.若前缘的涡片泄离和后缘有关，引入新的后缘螺旋形涡片，延著升力增加的方向移动，则会破坏升力。

对于这种流场，涡升力线（VFL）图^[10]可以用来了解不同情形下涡流带来的效果（包括流场启动及其他的条件），也可以控制涡流以增强或降低升力。涡升力线图是一个二维的图，其中会绘出涡升力线，其对升力的贡献和其速度、环量及涡升力线和流线的余弦成正比，因此涡升力线可以看出涡流对升力的提升或破坏程度。

• Lagally定理：若在机翼外面有固定的涡源，其对升力的修正可以表示为涡源的强度，及因其他因素造成涡源处诱导速度，这称为Lagally定理。^[11]。

针对二相的非黏性流，传统的库塔-儒可夫斯基定理预测阻力为零，不过若机翼外有涡源，会产生阻力，其形成原因类似升力。

• 马格努斯效应
• 马蹄形旋涡
• 升力系数
• 库塔条件
• 翅膀

• Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press
• Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0
• A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3