伯努利定律

原表达形式

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gh+p={\mbox{constant}}}$ 

其中：

${\displaystyle v=\;}$  流体速度

${\displaystyle g=\;}$  重力加速度（地球表面的值约为 9.8 m/s²）

${\displaystyle h=\;}$  流体处于的深度（从某参考点计）

${\displaystyle p=\;}$  流体所受的压力强度

${\displaystyle \rho =\;}$  流体质量密度

${\displaystyle {\mbox{constant}}=\;}$  常数

定理假设

使用伯努利定律必须符合以下假设，方可使用；如没完全符合以下假设，所求的解也是近似值。

• 定常流动（或称稳定流，Steady flow）：在流动系统中，流体在任何一点之性质不随时间改变。
• 不可压缩流（Incompressible flow）：密度为常数，在流体为气体适用于马赫数${\displaystyle M}$ 小于0.3的情况。
• 无摩擦流（Frictionsless flow）：摩擦效应可忽略，忽略黏滞性效应。
• 流体沿着流线流动（Flow along a streamline）：流体元素（element）沿着流线而流动，流线间彼此是不相交的。

 
考虑一符合上述假设的流体，如图所示：

流体因受压力的推动而得之能量：

${\displaystyle F_{1}s_{1}-F_{2}s_{2}=p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.\;}$ 

流体因重力做功所损失的能量：

${\displaystyle mgh_{1}-mgh_{2}=\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}.\;}$ 

流体所得的动能可以改写为：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}$ 

根据能量守恒定律，流体因受力所得的能量＋流体因重力做功所损失的能量＝流体所得的动能。

${\displaystyle p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}$ 

${\displaystyle {\frac {\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}{2}}+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}+p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t={\frac {\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}}{2}}+\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}+p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.}$ 

由连续方程可知：

${\displaystyle A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}={\mbox{constant}}}$ 

令${\displaystyle {\mbox{constant}}=\Delta V\;}$ 

从等式两边除以${\displaystyle \Delta t\;}$  及${\displaystyle \Delta V\;}$ 可得：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gh+p={\mbox{constant}}}$ 

或

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}+h+{\frac {p}{\rho g}}={\mbox{constant}}}$ 

考虑沿流线运动的微小流体质点^[3]，其质量以${\displaystyle \delta m=\rho \delta n\delta s\delta y}$ 表示，δy代表宽度，流体质点运动以速度向量V表示，流线坐标可表示为与某参考点的距离s=s(t)及流线局部曲率半径${\displaystyle \Re =\Re (s)}$  ，沿着流线的坐标为s；垂直流线的坐标为 n。

在垂直流线的方向n̂上，由于存在向心加速度${\displaystyle a_{n}={V^{2} \over \Re }}$ ，故质点所受合力为：

${\displaystyle \textstyle \sum \delta F_{n}\displaystyle ={\frac {\delta mV^{2}}{\Re }}={\frac {\rho \delta \mathbb {V} V^{2}}{\Re }}{\bar {V}}}$ ，其中${\displaystyle \mathbb {V} =\delta s\delta n\delta y}$ 为微小流体质点体积，${\displaystyle \rho }$ 为流体密度。

而质点所受重力为：

${\displaystyle \textstyle \delta W_{n}=-\delta W\cos \theta =-\gamma \delta \mathbb {V} \cos \theta }$ ，其中${\displaystyle \textstyle \gamma =\rho g}$ 。

如图所示的质点中央压力为p ，垂直流线的两端平均压力分别为${\displaystyle \textstyle p+\delta p_{n}}$ 及${\displaystyle \textstyle p-\delta p_{n}}$ ，可用泰勒级数展开求压力差异${\displaystyle \textstyle \delta p_{n}=({\frac {\partial p}{\partial n}})({\frac {\partial n}{2}})}$ 。

${\displaystyle \delta F_{pn}}$ 为质点于垂直方向上所受净压

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \delta F_{pn}&=(p-\delta p_{n})\delta s\delta y-(p+\delta p_{n})\delta s\delta y=-2\delta p_{n}\delta s\delta y\\&=-{\frac {\partial p}{\partial n}}\delta n\delta s\delta y=-{\frac {\partial p}{\partial n}}\delta \mathbb {V} \\\end{aligned}}}$ 

故

${\displaystyle \textstyle \sum \delta F_{n}\displaystyle =\delta W_{n}+\delta F_{pn}=(-\gamma \cos \theta -{\frac {\partial p}{\partial n}})\delta \mathbb {V} }$ 

因为沿着垂直流线方向 ${\displaystyle \textstyle \cos \theta ={dz \over dn}}$ ，可得到垂直流线方向之运动方程

${\displaystyle (-\gamma {dz \over dn}-{\frac {\partial p}{\partial n}})={\rho V^{2} \over \Re }}$ 

此式意味着，垂直于流线的压力梯度及质点所受重力会改变流向，造成弯曲的流线。

若忽略重力的因素，即只考虑流体在水平面的流动，以龙卷风为例，${\displaystyle {dz \over dn}=0}$ ，会得到${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial n}}=-{\rho V^{2} \over \Re }}$ ，这意味着，压力随着远离曲率中心的距离而增大（n的正向，指向弯曲流线的内部），由于${\displaystyle {\rho V^{2} \over \Re }}$ 为正值，因此${\displaystyle {\partial p \over \partial n}}$ 会是负的，在龙卷风之外的的压力（典型的大气压力）远大于中心处（低气压，可能会产生部分真空），而这些压力差会被用于平衡曲率运动所需的向心力。

在s为定值的情况下

${\displaystyle {\partial p \over \partial n}={dp \over dn}}$ 

沿n的方向积分可得

${\displaystyle \int {dp \over \rho }+\int {V^{2} \over \Re }dn+gz=constant\ across\ the\ streamline}$ 

对于不可压缩流，可得

${\displaystyle p+\rho \int {V^{2} \over \Re }dn+\gamma z=constant\ across\ the\ streamline}$ 

由推导方程所需的基本假设：稳定、无黏性 及不可压缩流，可以得出

1.跨过流线的运动方程 ${\displaystyle (-\gamma {dz \over dn}-{\frac {\partial p}{\partial n}})={\rho V^{2} \over \Re }}$ 

${\displaystyle p+\rho \int {V^{2} \over \Re }dn+\gamma z=constant\ across\ the\ streamline}$ 

2.沿着流线的运动方程 同上述做法^[3]，可得出沿着流线方向之运动方程

${\displaystyle (-\gamma {dz \over ds}-{\frac {\partial p}{\partial s}})={\rho \over 2}{dV^{2} \over ds}}$ 

以及伯努利定律

${\displaystyle p+{\tfrac {1}{2}}\rho V^{2}+\gamma z=constant\ along\ the\ streamline}$ 

在跨过流线的情形使用伯努力定律时，若流体位置发生旋转或弯曲，就会因跨过流线的运动方程中所含的${\displaystyle \rho \int {V^{2} \over \Re }dn}$ ，导致计算结果须修正。

当液体因受到地心吸力的作用而流出时，其速度等于${\displaystyle {\sqrt {2gh}}}$ ，其中${\displaystyle g}$ 为重力加速度，${\displaystyle h}$ 为开口的中心和液体最高面的距离。^[4]这个速度刚好等于液体从离地${\displaystyle h}$ 的地方以自由落体的方式下落时着地前的速度（但实际上因为有空气阻力，所以实际情形一般不会以自由落体的方式下落）。

简易喷雾器，以大吸管固定两只小吸管使之夹角略小于直角，因从吸管吹出之气体流速较快，压力较一大气压力为低，因此能够将水经由下端吸管中吸起，并于开口处加速破碎成雾滴，模型制作用喷枪以及工业用喷漆喷枪多为此种设计。

不过因为伯努利定律是假设流体沿着流线流动，探讨同一流线上二点的速度及压力变化。因此有些现象和伯努利定律无关，例如悬浮保丽龙球，将可折弯的吸管一端向上稳定吹出气体，将一直径约3公分之保丽龙球放置于气柱上，保丽龙球能够悬浮晃动于一定区域中，因为保丽龙球上方和下方的气流不是同一流线，这和伯努利定律无关，是康达效应的结果^[5]。

伯努利从观察液体的行为中推导出伯努利方程，但他的方程是只能应用在不可压缩的流体，以及虽然可压缩但流速非常慢的流体（也许可以到1/3的声速）。利用基本物理原理，可以发展出类似的方程，以适用于可压缩的流体。以下有几个类似于伯努力定律，能应用在不同领域方程。它们的推导只运用了像是牛顿第二定律和热力学第一定律的基本物理定律。

可压缩流体之流体力学

对于可压缩的流体，在保守力的作用之下，所得到的守恒式为

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}\ +\Psi ={\text{constant}}}$    （流线型下的守恒）

其中:

${\displaystyle p=\;}$  压力

${\displaystyle \rho =\;}$  密度

${\displaystyle v=\;}$  流速

${\displaystyle \Psi =\;}$  保守力场下的位势，通常指重力位势

在工程领域，在海拔比较高的地方，其压力会比地表来的小，而且流体流动的时间通常是相当的小，如同绝热系统般。在这种情形下，上述的方程即

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}}$    （流线型下的守恒）

其中：

${\displaystyle \gamma =\;}$  绝热指数

${\displaystyle g=\;}$  重力加速度

${\displaystyle z=\;}$  离参考平面的高度

在可压缩流体可以应用的地方，因为高度变化与其他变因相比小的很多，故gz项可以省略，所以较常用的方程为

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}}$ 

其中:

${\displaystyle p_{0}=\;}$  总压力

${\displaystyle \rho _{0}=\;}$  总密度

可压缩流动的热力学

另一个适合使用在热力学的公式是

${\displaystyle {v^{2} \over 2}+\Psi +w={\text{constant}}}$ 

其中：

${\displaystyle v=\;}$  流速

${\displaystyle \Psi =\;}$  重力位势

${\displaystyle w=\;}$  单位质量的焓（通常写作${\displaystyle h}$ ，但注意并非表示高度）

请注意${\displaystyle w=\epsilon +{\frac {p}{\rho }}}$  ，其中${\displaystyle \epsilon }$ 为热力学单位质量的能量，即比内能（specific internal energy）；${\displaystyle p}$ 为压力；${\displaystyle \rho }$ 为密度。

公式右侧的常数通常被称为伯努力常数，常被写为${\displaystyle b}$ 。当在绝热非黏滞性的流动，没有能量的流进或流出时，${\displaystyle b}$ 在任何曲线都是常数。

当${\displaystyle \Psi }$ 变化可以忽略，一个非常有用的形式的方程是:

${\displaystyle {v^{2} \over 2}+w=w_{0}}$ 

其中${\displaystyle w_{0}}$ 是焓的总量。

• 丹尼尔·伯努利
• 康达效应
• 欧拉方程 (流体动力学)
• 水力学
• 纳维-斯托克斯方程
• 流体动力学
• 文丘里效应

• Head and Energy of Fluid Flow （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Bernoulli equation calculator
• Denver University – Bernoulli's equation and pressure measurement （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Millersville University – Applications of Euler's equation
• NASA – Beginner's guide to aerodynamics （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Misinterpretations of Bernoulli's equation – Weltner and Ingelman-Sundberg （页面存档备份，存于互联网档案馆）