欧拉方程 (流体动力学)

流体动力学中,欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程,以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒(连续性)、动量守恒及能量守恒,对应零黏性及无热传导项的纳维-斯托克斯方程。历史上,只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而,流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”[1]

跟纳维-斯托克斯方程一样,欧拉方程一般有两种写法:“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释,即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律;而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。

欧拉方程可被用于可压缩性流体,同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程,或假设流速散度为零。

本条目假设经典力学适用;当可压缩流的速度接近光速时,详见相对论性欧拉方程

历史

第一份印有欧拉方程的出版物是欧拉的论文《流体运动的一般原理》(Principes généraux du mouvement des fluides),发表于1757年,刊载于《柏林科学院论文集》(Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin)。它们是最早被写下来的一批偏微分方程。在欧拉发表他的研究之时,方程组只有动量方程及连续性方程,因此只能完整描述非压缩性流体;在描述可压缩性流体时,会因条件不足而不能提供唯一解。在1816年,皮埃尔-西蒙·拉普拉斯添加了一条方程,第三条方程后来被称为绝热条件

在十九世纪的后半期,科学家们发现,与能量守恒相关的方程在任何时间都得被遵守,而绝热条件则只会在有平滑解的情况下会被遵守,因为该条件是由平滑解时的基础定律所造成的后果。在发现了狭义相对论之后,能量密度、质量密度及应力这三个概念,被统一成应力-能量张量这一个概念;而能量及动量也同样被统一成一个概念——能量-动量张量[2]

守恒形式(分量)

以下是用微分形式写成的欧拉方程:

 

其中

  • ρ为流体的质量密度
  • u 为流体速度向量,分量为uvw
  • E = ρ e + ½ ρ ( u2 + v2 + w2 )为每一单位容量所含的总能量,其中e为流体每一单位容量所含的内能
  • p为压力;
  •  代表张量积

第二条方程包含了一并矢积散度,用下标标记(每一个j代表从1至3)表示会较易明白:

 

其中i及j下标各代表直角坐标系的三个分量:( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z )( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w )

注意以上方程是用守恒形式的,而守恒形式强调的是方程的物理起因(因此在计算流体力学中的电脑模拟上使用这种形式最方便)。而代表动量守恒的第二条方程可用非守恒形式表示:

 

但是在这个形式上,会比较看不出欧拉方程与牛顿第二运动定律的直接关联。

守恒形式(向量)

以下是用向量及守恒形式写成的欧拉方程:

 

其中

 
 

在这个形式下,不难看出fxfyfz是通量。

以上方程分别代表质量守恒、动量的三个分量及能量。里面有五条方程,六个未知数。封闭系统需要一条状态方程;最常用的是理想气体定律(即p = ρ (γ−1) e,其中ρ为密度,γ绝热指数e为内能)。

注意能量方程的奇特形式;见蓝金-雨果尼厄方程。附加含p的项可被诠释成相邻的流体元对某流体元所作的机械功。在非压缩性流体中,这些附加项的总和为零。

流线上欧拉方程的积分,假设密度不变,及状态方程具有足够的刚性,可得有名的伯努利定律

非守恒形式(通量雅可比矩阵)

在构建数值解,例如求雷曼问题近似解的时候,展开通量可以是很重要的一环。使用上面以向量表示的守恒形式方程,展开其通量可得非守恒形式如下:

 

其中AxAyAz为通量雅可比矩阵,各矩阵为:

 

上式中这些通量雅可比矩阵AxAyAz,还是状态向量m的函数,因此这种形式的欧拉方程跟原方程一样,都是非线性方程。在状态向量m平滑变动的区间内,这种非守恒形式跟原来守恒形式的欧拉方程是相同的。

理想气体的通量雅可比矩阵

理想气体定律用作状态方程,可推导出完整的雅可比矩阵形式,矩阵如下[3]

H为:

 

声速a为:

 

线性化形式

将含通量雅可比矩阵的非守恒形式,在状态m = m0的周围线性化后,可得线性化欧拉方程如下:

 

其中Ax,0Ay,0Az,0分别为AxAyAz于某参考状态m = m0的值。

线性化一维的非耦合波方程

如果弃用守恒变量而改用特征变量的话,欧拉方程可被变换成非耦合方程。举例说,考虑以线性通量雅可比矩阵形式表示的一维(1-D)欧拉方程:

 

矩阵Ax,0可被对角化,即可将其分解成:

 
 
 

上式中,r1r2r3为矩阵Ax,0的右特征向量(若 ,则x_R为右特征向量),而λ1λ2λ3则为对应的特征值

设特征变量为:

 

由于Ax,0不变,原来的一维通量雅可比矩阵方程,乘上P−1后可得:

 

经过这样的处理后,方程实际上已经被非耦合化,而且可被视作三条波方程,其中特征值为波速。变量wi为雷曼不变量,或在一般的双曲系统中为特征变量。

冲击波

欧拉方程为非线性双曲方程,而它们的通解为。与海浪一样,由欧拉方程所描述的波掉后,所谓的冲击波就会形成;这是一种非线性效应,所以其解为多值函数(即函数内的某自变量会产生多个因变量)。物理上这代表构建微分方程时所用的假设已经崩溃,如果要从方程上取得更多信息,就必须回到更基础的积分形式。然后,在构建弱解时,需要使用蓝金-雨果尼厄冲击波条件,在流动的物理量中避开不连续点“跳跃”,上述物理量有密度、速度、压力及熵。物理量很少会出现不连续性;在现实的流动中,黏性会把这些不连续点平滑化。

许多领域都有研究冲击波的传播,尤其是出现流动处于足够高速的领域,例如空气动力学火箭推进

一维中的方程

在某些问题中,特别是分析导管中的可压缩流,或是当流动呈圆柱或球状对称的时候,一维欧拉方程都是很有用的近似法。一般来说,解欧拉方程会用到黎曼特征线法。首先需要找出特征线,这条曲线位于两个独立变量(即xt)所构成的平面上,在这条线上偏微分方程(PDE)会退化成常微分方程(ODE)。欧拉方程的数值解法非常倚赖特征线法。

注释

  1. ^ Anderson, John David. Computational fluid dynamics: the basics with applications. New York, NY: McGraw-Hill. 2010 [2022-07-21]. ISBN 978-0-07-001685-9. OCLC 711810200. (原始内容存档于2022-07-21) (英语). 
  2. ^ Christodoulou, Demetrios. The Euler Equations of Compressible Fluid Flow. Bulletin of the American Mathematical Society. 2007-06-18, 44 (4). ISSN 0273-0979. doi:10.1090/S0273-0979-07-01181-0 (英语). 
  3. ^ 见Toro (1999)

资料来源及延伸阅读

  • Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962. 
  • Thompson, Philip A. Compressible Fluid Flow. New York: McGraw-Hill. 1972. ISBN 0070644055. 
  • Toro, E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-65966-8.