黄金进制

211.01_φ是φ进制数，但并非标准形，因为它含有“11”和“2”，以及1=-1。我们可以根据以下公式将它转化到标准形：

• 011_φ = 100_φ
• 0200_φ = 1001_φ
• 010_φ = 101_φ

公式的代换过程对结果没有影响。具体过程如下：

  211.01φ
  300.01φ     011φ → 100φ
 1101.01φ     0200φ → 1001φ
10001.01φ     011φ → 100φ (again)
10001.101φ    010φ → 101φ
10000.011φ    010φ → 101φ (again)
10000.1φ      011φ → 100φ (again)

任意非标准形正数都可以唯一地标准化。这样处理之后如果第一位是负数，此时需要将每一位数都变成相反数，重新标准化并加上负号。例如：

101_φ = -101_φ = -110.1_φ = -1.1_φ = -10_φ

通常所说的整数在黄金进制下是有限小数。例如，整数5转化成黄金进制的过程如下所示：

1. 5以下φ的最高次幂是 φ³ = 1 + 2φ ≈ 4.236；
2. 与5求差为5 - (1 + 2φ) = 4 - 2φ ≈ 0.763；
3. 0.763以下最大的φ的幂是 φ^－1 = -1 + 1φ ≈ 0.618；
4. 再次求差，4 - 2φ - (-1 + 1φ) = 5 - 3φ ≈ 0.145
5. 0.145以下最大的φ的幂是 φ^－4 = 5 - 3φ ≈ 0.145；
6. 再次求差得到0
7. 于是：　5 = φ³ + φ^－1 + φ^－4

5用φ进制表示就是1000.1001_φ。

这里其实利用了以下事实：凡φ的幂都可以用整数a、b表示成 a + b φ 的形式。因为 φ² = φ + 1 、φ^－1 = -1 + φ 。如此一来，数之间比大小就容易了。实际上，a + bφ > c + dφ 和 2(a － c) － (d － b) > (d － b) × √5 等价。只需将 φ = (1+√5)/2 代入，稍作处理就可得到这一结果。

黄金进制下的有限小数不全是整数，还包括环${\displaystyle \mathbb {Z} [\phi ]:=\{a+b\phi \mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$ 的元素。

数的表示不唯一

和其他进位制相同，黄金进制中也可以用多种形式表示同一个数。就像10进制中0.999...=1，φ进制中0.1010101…_φ=1。

• 使用非标准形变换：1 = 0.11_φ = 0.1011_φ = 0.101011_φ = … = 0.10101010…_φ
• 使用等比级数展开：1.0101010…_φ 等于

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\phi ^{-2k}={\frac {1}{1-\phi ^{-2}}}=\phi }$ 

• 错项相减：φ² x - x = 10.101010…_φ - 0.101010…_φ = 10_φ = φ 所以 x = φ/(φ² － 1) = 1

这种不唯一是进位制的特征，1.0000和0.101010…都是标准形。一般地，φ进位制中数最后的1用01循环代替即可得到另一标准形。

在黄金进制中，可以用有限小数或者循环小数表示任意非负有理数，以及从有理数和√5生成的域Q[√5]中的非负元素。其中

${\displaystyle \mathbb {Q} (\phi )=\mathbb {Q} ({\sqrt {5}}):=\{a+b{\sqrt {5}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}}$ 

相反地，黄金进制中的有限/循环小数都是Q[√5] 中的非负元素。例如：

• 1/2 ≈ 0.010 010 010 010 ... _φ
• 1/3 ≈ 0.00101000 00101000 00101000... _φ
• √5 = 10.1_φ
• 2+(1/13)√5 ≈ 10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 ..._φ

对这一点的证明与十进制中类似。在黄金进制下进行长除法。因为其余数的可能值是有限个，所以必定会出现循环。例如 1/2 = 1/10.01_φ = 100_φ/1001_φ 进行长除法如下：

               .0 1 0 0 1
        ________________________
1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0
            1 0 0 1                        代换 10000 = 1100 = 1011
            _______                        于是 10000-1001 = 1011-1001 = 10
                1 0 0 0 0
                  1 0 0 1
                  _______
                      etc.

反之，黄金进制中的循环小数都属于Q[√5]。因为循环部分形成了等比级数，对它求和即可得到Q[√5]的元素。

常见无理数的黄金进制表示如下：

• π ≈ 100.010010101001000101010100 …_φ （OEIS数列A102243）
• e ≈ 100.000010000100100000000100 …_φ （OEIS数列A105165）
• √2 ≈ 1.0100000101001010010000000101 …_φ （OEIS数列A352678）
• φ = ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$  = 10_φ（在此计数系统为整数）
• √5 = 10.1_φ

在黄金进制中可以和其它进制一样进行四则运算。加法、减法、乘法的计算方法如下：

加、减、乘

先计算，后转化

即先对每一位按十进制数的方法计算，但不进行进位、借位，计算完再转化为标准形。例如：

2+3 = 10.01 + 100.01 = 110.02 = 110.1001 = 1000.1001

2×3 = 10.01 × 100.01 = 1000.1 + 1.0001 = 1001.1001 = 1010.0001

7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 10010.0101 = 1110.0101 = 1001.0101 = 1000.1001

避免0和1以外的数

更加自然的做法是将数转化为非标准形，以避免出现需要进位和借位的 1+1 或 0-1 。例如：

2+3 = 10.01 + 100.01 = 10.01 + 100.0011 = 110.0111 = 1000.1001

7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 1100.0001 - 10.01 = 1011.0001 - 10.01 = 1010.1101 - 10.01 = 1000.1001

除法

除了整数以外，所有有理数都不能用有限位φ进制数表示。也就是说，黄金进制中能用有限小数表示的数只有整数或者域Q[√5]中的无理数。两个整数相除得到有理数的情况已经在上文说明了。

斐波那契进制（Fibonaccimal Base）是与黄金进制关系紧密的计数系统。它只用0和1表示数，每个数位的位值对应斐波那契数^[1]。和黄金进制一样，其标准形也不连续使用两个1。如：

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010_fib.

由于最末位始终为零，因此有时会将之省去^[1]，而省去后的结果则与齐肯多夫表述法相同^[2]。

• 进位制

• Using Powers of Phi to represent Integers (Base Phi)（页面存档备份，存于互联网档案馆）