概形论术语

一个概形 ${\displaystyle S}$  是一个局部赋环空间，故也是拓扑空间，但“${\displaystyle S}$  的点”具有三重涵义：

• 拓扑空间意义下的点。
• ${\displaystyle T}$ -值点：对任一概形 ${\displaystyle T}$ ，一个 ${\displaystyle T}$ -值点是指一个态射 ${\displaystyle T\to S}$ 。
• 几何点：当 ${\displaystyle S}$  定义在一个域 ${\displaystyle K}$  上时（换言之 ${\displaystyle S}$  是 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}$ -概形），一个几何点乃是一个 ${\displaystyle \mathrm {Spec} ({\overline {K}})}$ -值点，其中 ${\displaystyle {\overline {K}}}$  表 ${\displaystyle K}$  的代数闭包。

几何点是古典问题的主角，例如对复代数簇而言，通常说“点”即指几何点。拓扑空间的点包括一般点的类比（相对于扎里斯基而非韦伊的理论）。借由米田引理，考虑所有的概形 ${\displaystyle T}$  与所有 ${\displaystyle T}$ -值点，可以将概形 ${\displaystyle S}$  理解为相应的可表函子 ${\displaystyle h_{S}}$ ，此观念是代数几何发展史上的一大步。

在格罗滕迪克的相对几何框架下，一态射的纤维有三重涵义：

• 一个点（拓扑意义下）的逆像。
• 两个态射的纤维积：对于仿射概形，纤维积对应到环的张量积。
• 几何纤维：设 ${\displaystyle S,S'}$  为 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}$ -概形（${\displaystyle K}$  为域），${\displaystyle f:S\to S'}$  为一 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}$ -态射，${\displaystyle P:\mathrm {Spec} ({\overline {K}})\to S'}$  为一几何点，则 ${\displaystyle P}$  点的几何纤维定义为相应的纤维积 ${\displaystyle S\times _{S}\mathrm {Spec} ({\overline {K}})}$ 。

概形的大部分性质都是“局部的”，换言之：${\displaystyle X}$  具有性质甲，当且仅当对其任一开覆盖 ${\displaystyle X=\bigcup _{i}X_{i}}$ ，每个 ${\displaystyle X_{i}}$  皆具性质甲；而通常只要对一组开覆盖验证即可。这类性质有时也被称为“扎里斯基局部”的，藉以区别对于其他格罗滕迪克拓扑的情形（如平展拓扑）。

考虑一概形 ${\displaystyle X}$  及一组仿射开子概形 ${\displaystyle \mathrm {Spec} A_{i}}$  组成的开覆盖。借此可将概形的局部性质翻译为交换环的性质。一个性质甲在上述意义下是局部的，当且仅当相应的环性质在局部化之下不变。

举例明之，局部诺特概形是能由诺特环的交换环谱覆盖的概形。由于诺特环的局部化仍为诺特环，局部诺特性确实是上述意义下的局部性质。另一个例子是既约概形，这也是局部性质，因为若一个交换环无幂零元，则其局部化亦然。

分离概形并非局部性质：任何仿射概形都是分离概形，因此任何概形都是“局部分离”的，然而存在非分离的概形。

以下是环的局部性质列表（不全），由此可定义概形的相应性质。以下令 ${\displaystyle X:=\bigcup _{i}\mathrm {Spec} A_{i}}$  为一概形之开覆盖。

格罗滕迪克的基本理念之一是强调“相对”性，亦即置重点于态射的性质。概形范畴有一终对象 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} }$ ，所以任何概形可以唯一地理解为 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} }$ -概形，借此可以从态射性质定义概形本身的性质。

以下令

${\displaystyle f:Y\to X}$ 

为概形间的态射。一如既往，以下的性质也是局部的，即：若存在开覆盖 ${\displaystyle X=\bigcup U_{i}}$  使得 ${\displaystyle f}$  在 ${\displaystyle f^{-1}(U_{i})}$  上的限制带有该性质，则 ${\displaystyle f}$  本身也带该性质。

与拓扑结构相关的概念

若一个态射在拓扑空间上是开映射，则称此态射为开态射；闭态射的定义类似。平坦态射皆为开态射。

若 ${\displaystyle f(Y)}$  在 ${\displaystyle X}$  中稠密，则称此态射为优势态射（英文：dominant morphism，法文：morphisme dominant）。对于仿射概形，优势态射对应到环的单射同态。

开浸入与闭浸入

• 开浸入：若 ${\displaystyle f}$  同构于一个开子概形的包含映射，则称之为开浸入。
• 闭浸入：若 ${\displaystyle f}$  同构于一个闭子概形的包含映射，则称之为闭浸入。闭浸入在局部上对应到环的商同态。闭浸入可以如下刻划：${\displaystyle f:Y\to X}$  是闭浸入，当且仅当 ${\displaystyle f}$  在拓扑空间的意义下是个闭浸入（${\displaystyle f:Y\to f(Y)}$  是同胚，且 ${\displaystyle f(Y)}$  是 ${\displaystyle X}$  中的闭集），而且 ${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$  是满射。
• 浸入：闭浸入与开浸入的合成。

开浸入仅关乎拓扑，而闭浸入则与结构层有关。概形的闭子集可以带有多种闭子概形结构，其中存在一个始对象，使得其结构层不含幂零元，称为该闭子集对应的既约子概形。

仿射态射与射影态射

若 ${\displaystyle X}$  的仿射开子概形对 ${\displaystyle f}$  的逆像仍为仿射概形，则称 ${\displaystyle f}$  为仿射态射。用较炫的说法：仿射态射系来自 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ -代数的整体 ${\displaystyle \mathbf {Spec} }$  构造，这是整体版本的交换环谱。例子包括向量丛。

射影态射的定义类似，此时对应到分次 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ -代数的整体 ${\displaystyle \mathbf {Proj} }$  构造，另一种等价的刻划是： ${\displaystyle f}$  是射影态射，当且仅当它可分解为闭浸入 ${\displaystyle Y\to \mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times X}$  及自然投影 ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{n}\to X}$ 。

分离态射与真态射

• 分离态射：使得对角态射 ${\displaystyle \Delta _{Y/X}:Y\to Y\times _{X}Y}$  为闭浸入的态射，此概念对应到拓扑学中的豪斯多夫空间。
• 真态射：即满足下列性质的态射
  • 分离态射
  • 泛闭（即：任一闭浸入 ${\displaystyle s:Z\to X}$  在对 ${\displaystyle f}$  取纤维积后仍为闭浸入）
  • 有限型

有限型、拟有限与有限态射

若 ${\displaystyle X}$  有一组仿射开覆盖 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A_{i}}$ ，使得态射 ${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})\to \mathrm {Spec} \,A_{i}}$  对应到 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,B_{i}\to \mathrm {Spec} \,A_{i}}$ ，使得 ${\displaystyle B_{i}}$  是有限 ${\displaystyle A_{i}}$ -模，则称此态射为有限态射。

若将上述条件改为：${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})}$  有一组仿射开覆盖 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,B_{ij}}$  ，使得 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,B_{ij}}$  是有限生成的 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A_{i}}$ -代数，则称此态射为局部有限型态射；若上述开覆盖 ${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})=\bigcup _{j}\mathrm {Spec} \,B_{ij}}$  可取为有限的，则称之有限型态射。代数几何中探讨的多数态射都是有限型态射。

若 ${\displaystyle f}$  的纤维都是有限的，且是有限型态射，则称之为拟有限态射。有限态射皆为拟有限态射。

平坦态射

若 ${\displaystyle f}$  在结构层的茎上给出平坦同态，则称之为平坦态射。视此态射为一族以 ${\displaystyle X}$  的点为参数的概形，则平坦性可诠释为纤维在变形下的某些良好性质，例如希尔伯特多项式的不变性。

非分歧态射与平展态射

对一点 ${\displaystyle y\in Y}$ ，考虑相应的环同态：

${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}.}$ 

令 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$  为 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}}$  的极大理想，并设

${\displaystyle {\mathfrak {n}}:=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}}$ 

若对所有 ${\displaystyle y\in Y}$ ，${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$  是 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$  的极大理想，且导出的映射 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}}$  是有限、可分的代数扩张，则称此态射为非分歧态射。

平坦的非分歧态射称为平展态射，此外尚有多种等价定义。在代数簇的情形，平展态射恰好是在切空间上导出同构的态射，这正好是微分几何中平展态射的定义。

平滑态射

平滑态射对应到拓扑学中的塞尔纤维化映射，在代数几何中有多种定义：

• ${\displaystyle f:Y\to X}$  是有限型平坦态射，且 ${\displaystyle \Omega _{Y/X}^{1}}$  是局部自由 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ -模，其秩为 ${\displaystyle \dim Y-\dim X}$ 。
• ${\displaystyle f:Y\to X}$  可分解为某个平展态射 ${\displaystyle g:Y\to \mathbb {A} _{X}^{n}}$  及自然投影 ${\displaystyle p:\mathbb {A} _{X}^{n}\to X}$  之合成。
• 形式判准：对任何交换环 ${\displaystyle A}$  及其理想 ${\displaystyle I}$ ，并满足 ${\displaystyle I^{2}=(0)}$ ，则 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{X}(\mathrm {Spec} (A),Y)\to \mathrm {Hom} _{X}(\mathrm {Spec} (A/I),Y)}$  是满射。

• Crib Sheet: Properties of Morphisms of Schemes, Johan de Jong

• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. （法语）.  引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
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