米田引理

设${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 为一范畴，定义两个函子范畴如下：

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\wedge }:=\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}},\mathbf {Set} )}$ 

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\vee }:=\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} },\mathbf {Set} )}$ 

并定义两个函子：

${\displaystyle h_{\mathcal {C}}(X)=h_{X}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,X)}$ 

${\displaystyle k_{\mathcal {C}}(X)=k_{X}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,-)}$ 

其中${\displaystyle h_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\wedge }}$ 而${\displaystyle k_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\vee }}$ 。

米田引理的抽象陈述如下：

米田引理。有自然的同构

${\displaystyle \forall X\in {\mathcal {C}},A\in {\mathcal {C}}^{\wedge }\quad \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{\wedge }}(h_{X},A)\simeq A(X)}$ 

${\displaystyle \forall X\in {\mathcal {C}},B\in {\mathcal {C}}^{\vee }\quad \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{\vee }}(k_{X},B)\simeq B(X)}$ 

这两个同构对所有变元${\displaystyle A,B,X}$ 都满足函子性。

对任一对象${\displaystyle Y\in {\mathcal {C}}}$ ，在上述同构中分别取${\displaystyle A=h_{Y},B=k_{Y}}$ ，便得到米田引理最常见的形式：

推论。函子${\displaystyle h_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\wedge }}$ 与${\displaystyle k_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\vee }}$ 是完全忠实的。

由上述推论，范畴中的对象${\displaystyle X}$ 由它所表示的函子${\displaystyle h_{X}}$ 或${\displaystyle k_{X}}$ 唯一确定（至多差一个同调），这是可表函子理论的根基所在。例如在代数几何中，一个常见的技术是将概形等同于它所代表的函子，后者往往具有直观的几何诠释，技术上亦较容易处理；另一方面，我们也往往从函子的观点研究空间的商、极限或者是模空间问题，第一步是定义适当的“函子解”，其次再研究它可表与否。代数拓扑中的分类空间也是可表函子概念的体现。

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. 编辑
  • Pierre Schapira, Categories, sites, sheaves and stacks