正则局部环

设 ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$  为局部诺特环。设 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$  为 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$  的一组最小生成元，一般而言有 ${\displaystyle n\geq \dim A}$ 。当 ${\displaystyle n=\dim A}$  时，称 ${\displaystyle A}$  为正则局部环。

根据中山正引理，局部诺特环 ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$  为正则局部环当且仅当 ${\displaystyle \dim _{A/{\mathfrak {m}}}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A}$ 。

正则局部环由 Wolfgand Krull 首先定义，而在扎里斯基的工作中展现其重要性。扎里斯基证明了代数簇在一点上平滑的充要条件是该点的局部环为正则局部环，此前平滑性系由雅可比矩阵定义，此定义涉及代数簇在仿射或射影空间中嵌入方式，而扎里斯基证明了这是代数簇的内在性质。事实上，定义中的 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$  可以解释为该点的余切空间，因此正则性可以粗略地理解为该点的余切空间具有“好的”维度。

随着同调代数技术的发展，人们在1950年代以后对正则局部环有更深的了解。Auslander 与 Buchsbaum 证明了正则局部环必为唯一分解环，让-皮埃尔·塞尔则以同调维度刻划了局部诺特环的正则性。

正则局部环的局部化仍为正则局部环，此点可由塞尔定理与同调维度对局部化的性质导出。借着同调维度，我们也可以推广正则性的定义：一个同调维度有限的交换环 ${\displaystyle A}$  称为正则环，此条件等价于 ${\displaystyle A}$  对每个素理想的局部化皆为正则局部环。

若 ${\displaystyle A}$  为正则环，则 ${\displaystyle A[X],A[[X]]}$  皆为正则环。

• 零维的正则局部环是域。
• 任何离散赋值环都是正则局部环，例子包括了p进数的整数环 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ 。
• 域上的形式幂级数环是正则局部环，其维度等于变元个数。
• 正则局部环不一定包含一个域，例如 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$  是一维正则局部环，但是它不包含任何域。
• 如果 ${\displaystyle A}$ 是局部环，那么形式幂级数${\displaystyle A[[x]]}$ 是正则局部环。