基本多边形

上图中标有相同字母的两条边，沿着箭头方向粘合。

• 球面：${\displaystyle AA^{-1}}$ 或${\displaystyle ABB^{-1}A^{-1};}$ 
• 实射影平面：${\displaystyle AA}$ 或${\displaystyle ABAB;}$ 
• 克莱因瓶：${\displaystyle ABAB^{-1}}$ 或${\displaystyle AABB;}$ 
• 环面：${\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}$ 或${\displaystyle ABCA^{-1}B^{-1}C^{-1}.}$ 

对标准对称形状，多边形的边可以理解为一个群的生成元。然后这个多边形，写成群元素形式，成为由这些边生成的自由群上一个约束，给出有一个约束的群呈示。

因此，例如给定欧几里得平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ，设群元素${\displaystyle A}$ 在这个平面上有作用${\displaystyle A(x,y)=(x+1,y)}$ 而${\displaystyle B(x,y)=(x,y+1)}$ 。则${\displaystyle A,B}$ 生成格${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} ^{2}}$ ，而环面由商空间给出（一个齐性空间）${\displaystyle T=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ 。更一般地，两个生成元${\displaystyle A,B}$ 可用来生成一个基本平行四边形的平行四边形镶嵌。

对环面，在两个字母的自由群上的约束由${\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}=1}$ 给出。这个约束平凡地包含在如上给出的平面上的作用中。另外，平面可用六边形铺满，六边形的中心形成一个六边形格。将六边形的相对等同，又得到了环面。这一回约束是${\displaystyle ABCA^{-1}B^{-1}C^{-1}=1}$ ，刻划了六边形格生成元在平面上的作用。

在实际中，大部分有趣的情形是具有负曲率的曲面，由群${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$ 中一个离散格作用在上半平面实现。这样的格称为富克斯群（Fuchsian group）。

亏格n可定向闭曲面有如下标准基本多边形：

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.\,}$ 

（不可定向）亏格n的不可定向闭曲面有如下标准基本多边形：

${\displaystyle A_{1}A_{1}A_{2}A_{2}\cdots A_{n}A_{n}.\,}$ 

或者，不可定向曲面能由两种形式给出，亏格n 克莱因瓶与亏格n 实射影平面。亏格2n克莱因瓶由一个4n边形给出

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}=1,\,}$ 

（注意最后的${\displaystyle B_{n}}$ 没有上标 -1；与可定向情形比较，这个翻转是不可定向性的缘故）。亏格2n+1射影平面由一个4n+2边形给出

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}C^{2}=1.\,}$ 

最后两类情形穷尽了所有可能的不可定向曲面，这是昂利·庞加莱证明的。

一个（双曲）紧黎曼曲面的基本多边形有许多重要的性质，将曲面与它的富克斯模型（Fuchsian model）联系起来。即一个双曲紧黎曼曲面可以上半平面做为万有覆叠，从而可以表示为一个商流形H/Γ，这里 Γ是一个非阿贝尔群同构于曲面的甲板变换群（deck transformation group）。商空间的陪集有标准多边形做为代表元素。在下面，注意所有黎曼曲面都是可定向的。

度量基本多边形

给定上半平面H中一点${\displaystyle z_{0}}$ ，以及PSL(2,R)一个离散子群Γ 自由不连续作用在上半平面，则我们可定义度量基本多边形（metric fundamental polygon）为点集

${\displaystyle F=\{z\in \mathbb {H} :d(z,z_{0})<d(z,gz_{0})\;\;\forall g\in \Gamma \}.\,}$ 

这里d是上半平面的双曲度量。度量基本多边形有时也称为狄里克雷区域（Dirichlet region）或沃罗诺伊多边形（Voronoi polygon）。

• 这个基本多边形是一个基本区（fundamental domain）。
• 这个基本多边形是凸集，连接这个多边形的任何两点的测地线完全包含在多边形内部。
• F的直径小于或等于H/Γ的直径。特别地，F的闭包紧。
• 如果Γ在H中没有不动点且H/Γ紧，则F的边数有限。
• 多边形的每条边是一个测地线。
• 对多边形的每条边s，恰有另外一条边s' 使得gs=s' 对某个g属于Γ。从而这个多边形有偶数条边。
• 将边两两连接的群元素集合g是Γ的生成元，没有更小的集合可生成Γ。
• F的闭包在Γ的作用下铺满上半平面。即${\displaystyle H=\cup _{g\in \Gamma }\,g{\overline {F}}}$ 这里${\displaystyle {\overline {F}}}$ 是F的闭包。

标准基本多边形

给定任何度量基本多边形F，用有限步可以构造另一个基本多边形，标准基本多边形（standard fundamental polygon），它具有额外一组值得注意的性质：

• 标准多边形的顶点都是等价的。“顶点”是说两条边相交的点。“等价”意味着每个顶点可以由Γ中某个g变到任何其它一个顶点。
• 边数可被4整除。
• Γ中一个给定元素g至多将多边形的一条边变到另一边。从而这些边可以成对标记出来。由于Γ的作用保持定向，如果一条边为${\displaystyle A}$ ，则这一对中另一个可以标记为相反的方向${\displaystyle A^{-1}}$ 。
• 可以安排标准多边形的边，使得相邻边取形式${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}}$ 。这就是说边对可安排成以这样的方式相间出现。
• 标准多边形是凸集。
• 边可以安排成测地线。

上面的构造足够保证多边形的每条边在流形H/Γ中是一个闭（非平凡）环路。就其本身而言，每条边可以为基本群${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )}$ 中一个元素。特别地，基本群${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )}$ 有2n个生成元素${\displaystyle A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},\cdots A_{n}B_{n}}$ ，由一个约束定义，

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.\,}$ 

所得流形H/Γ的亏格是n。

例子

度量基本多边形与标准多边形通常有不同的边数。比如，环面的标准基本多边形是一个基本平行四边形（fundamental parallelogram）。相比而言，度量基本多边形有六条边，是一个六边形。只需注意到六边形的边垂直平分平行四边形的边就可以看出来。这就是，取格中一点，然后考虑连接这点与邻点的直线之集合。每个这样的线被另一条垂直线平分，被这样的第二个线集合围住的最小的空间是一个六边形。

事实后，上一个构造一般都可行：取一点x，然后对Γ中g，考虑x与gx之间的测地线。平分这些测地线是另一个曲线集合，这些点的轨迹与x和gx距离相等。由第二个线集合围住的最小区域是度量基本多边形。

面积

标准基本多边形的面积是${\displaystyle 4\pi (n-1)}$ ，这里n是黎曼曲面的亏格（等价于4n是多边形的边数）。由于标准多边形是H/Γ的一个代表，黎曼曲面的整个面积等于标准多边形的面积。这个面积公式由高斯-博内定理得出，在某种意义下黎曼-赫尔维茨公式（Riemann-Hurwitz formula）是其推广。

对标准多边形可以给出具体表达式。一个更有用的形式是使用与这个标准多边形关联的群${\displaystyle \Gamma }$ 。对一个亏格n定向曲面，群可由2n格生成元${\displaystyle a_{k}}$ 给出。这些生成元由下列分式线性变换作用在上半平面给出。

对${\displaystyle 0\leq k<2n}$ ：

${\displaystyle a_{k}=\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{p}&0\\0&e^{-p}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &\sin k\alpha \\-\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)}$ 

参数由

${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4n}}\left(2n-1\right)}$ 

和

${\displaystyle \beta ={\frac {\pi }{4n}}}$ 

以及

${\displaystyle p=\ln {\frac {\cos \beta +{\sqrt {\cos 2\beta }}}{\sin \beta }}}$ 

给出。可以验证这些生成元服从约束

${\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{2n-1}a_{0}^{-1}a_{1}^{-1}\cdots a_{2n-1}^{-1}=1,\,}$ 

这给出整个群呈示。

在高维，基本多变形的想法体现为齐性空间。

• 凯莱图
• 欧几里得环
• 沃罗诺伊图（Voronoi diagram）

• Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups (1983), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90788-2.
• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X.