高斯-博内定理

设${\displaystyle M}$ 是一个紧的二维黎曼流形，${\displaystyle \partial M}$ 是其边界。令${\displaystyle K}$ 为${\displaystyle M}$ 的高斯曲率，${\displaystyle k_{g}}$ 为${\displaystyle \partial M}$ 的测地曲率。则有

${\displaystyle \int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M),\,}$ 

其中dA是该曲面的面积元，ds是M边界的线元。此处${\displaystyle \chi (M)}$ 是${\displaystyle M}$ 的欧拉示性数。

如果${\displaystyle \partial M}$ 的边界是分段光滑的，我们将${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}\;ds}$ 视作光滑部分相应的积分之和，加上光滑部分在曲线边界上的转过的角度之和。

• 陈-高斯-博内定理

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