反正割

反正割一般记为${\displaystyle \sec ^{-1}z}$ ^[5]或${\displaystyle \operatorname {arcsec} z}$ ^[6][7][8][9]，以表示正割的反函数。也有以大写书写的版本Arcsec z^[10]和Sec^-1 z一般用于表示多值函数^[6]。在符号${\displaystyle \sec ^{-1}z}$ 上的上标-1是表示反函数，而不是乘法逆元素。但根据ISO 31-11应将反正切函数记为${\displaystyle \operatorname {arcsec} z}$ ，因为${\displaystyle \sec ^{-1}}$ 可能会与${\displaystyle {\frac {1}{\sec }}}$ 混淆，${\displaystyle {\frac {1}{\sec }}}$ 是余弦函数。

原始的定义是将正割函数限制在${\displaystyle [0,\pi ]}$ （[0, 180°]）的反函数
在复变分析中，反正割是这样定义的：

${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {\mathrm {i} }{x^{2}}}}}\right)\,}$ 

这个动作使反正割被推广到复数。

下图表示推广到复数的反正割复数平面函数图形，可以见到图中央有一条明显的横线正好是实数中未被定义的区间[-1,1]。

直角三角形中

在直角三角形中，反正割定义为已知斜边c与邻边b比值对应的${\displaystyle \angle A}$ 的大小，也就是：

${\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {\mathrm {Hypotenuse} }{\mathrm {Adjacent} }}=\theta \,\!}$ 

•  

  直角三角形，C为直角，对于角A而言，a为对边、b为邻边、c为斜边

•  

  直角三角形，已知斜边斜边为x且邻边为单位长

此外在直角三角形中，若已知斜边为${\displaystyle x}$ 且邻边为单位长，${\displaystyle x}$ 代入反正割可求得对应的角的大小：

${\displaystyle \sec ^{-1}x=\operatorname {arcsec} x=\theta \,\!}$ 

因此，根据毕氏定理可以使反正割利用其他反三角函数表示：

${\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}$ 

${\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}}$ 

${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}}$ 

直角坐标系中

若${\displaystyle \alpha }$ 是平面直角坐标系xOy中的一个未知的象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$ 是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$ 是P到原点O的距离，若已知${\displaystyle {\frac {r}{x}}\,\!}$ ，则可利用反正割求得未知的象限角${\displaystyle \alpha }$ ：

${\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {r}{x}}=\operatorname {arcsec} {\frac {r}{x}}=\alpha \,\!}$ 

级数定义

反正割函数可以使用无穷级数定义：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots ]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}$ 

反正割函数的泰勒展开式为：

${\displaystyle \operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}x^{-2n-1}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {3}{40x^{5}}}-{\frac {5}{112x^{7}}}-\cdots }$ 

• 反余弦
• 正割
• 余弦

1. ^ 由于反正割在x=0未定义，因此考虑复变反正割函数，^[2]但由在x=0时于左极限不等于右极限，因此也不存在极限因此Arcsec 0不存在。

• 埃里克·韦斯坦因. Inverse Secant. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Arcsecant. MathWorld.