完备群

在数学的群论中,完备群(又称完全群,不过完全群也可以指另一种群[1])是指如下的一种GG是无中心群,并且G的所有自同构都是内自同构,也就是说G有平凡外自同构群和平凡中心。另一等价定义是将元素映射到自同构群同态群同构。因为此群同态的G的中心,而其像是G的所有内自同构;所以G有平凡中心,则此群同态是单射,而所有自同构都是内自同构,则此群同态是满射

例子

对称群 除了n=2,6外,都是完备群。 有非平凡中心,而 有一个外自同构(与内自同构复合之异不别)。

性质

任何完备群都同构于其自同构群。注意其逆命题不成立:有8个元素的二面体群同构于其自同构群,这个群却不是完备群。

注释

  1. ^ 完全群的两种意思是因两岸译名差异而起,列表如下:
    大陆译名 台湾译名 英语
    完全群 完备群 complete group
    完满群 完全群 perfect group

参考

  • Robinson, Derek John Scott, A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996, ISBN 978-0-387-94461-6 
  • Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94285-8  (chapter 7, in particular theorems 7.15 and 7.17).