初等群论

• 群乘积 "*" 不必然是乘法。加法也可以，很多更不标准的运算也行。
• 在 * 是标准运算的时候，我们转而使用标准符号(比如对加法使用 +)。
• 在 * 是加法或(除了乘法)任何交换运算的时候，0 通常指示单位元，而 -a 指示 a 的逆元。运算总是用非 * 的东西经常为 + 来避免混淆于乘法。
• 在 * 是乘法或非交换运算的时候，a*b 经常写为 ab。1 通常指示单位元，而a ^-1 通常指示 a 的逆元。
• 群 <G,*> 经常被称为“群 G”或简称“G”；但是运算 "*" 对于群的描述是基础性的。
• <G,*> 经常念为“在 * 下的群 G”。在断定 G 是一个群的时候(比如在定理中)，我们说“G 是在 * 下的一个群”。

G = {1,-1} 是乘法下的一个群，因为对于所有 G 中的元素 a, b, c:

A1: a*b 是 G 的一个元素.

A2: (a*b)*c = a*(b*c) 可以通过枚举所有 8 种可能(和平凡的)情况来验证。

A3: a*1 = a。因为 1 是单位元。

A4: a^-1*a = 1。因此 a^-1 指示逆元而单位元 1 是自身的逆元。

整数集 Z 和实数集 R 是在加法 '+' 下的群，对于所有 Z 或者 R 中的元素 a, b 和 c:

A1: 任何两个数相加产生同类的另一个数。

A2: (a+b)+c = a+(b+c)。

A3: a+0 = a。因此 0 是单位元。

A4: -a+a = 0。因此 -a 指示逆元而单位元 0 是自身的逆元。

实数集 R 不是乘法 '*' 下的群。对于所有 R 中的 a, b 和 c:

A3: 单位元是 1。

A4: 0*a = 0，所以 0 没有逆元。

实数集去除 0 即 R^# 是在乘法 '*' 下的群。

A1: 任何两个 R^# 的元素相乘产生 R^# 的另一个元素。

A2: (a*b)*c = a*(b*c)。

A3: a*1 = a。因此 1 指示单位元。

A4: a ^-1*a = 1。因此 a ^-1 指示逆元。

A3 和 A4 可以被替代为:

• A3’，左单位元。存在一个 G 中元素 e 使得对于所有 G 中的 a，e*a = a。
• A4’，左逆元，对于每个 G 中的 a，存在一个 G 中的元素 x 使得 x*a = e。

还可以替代为:

• A3’’，右单位元。存在一个 G 中的 e 使得对于所有 G 中的 a，a*e = a。
• A4’’，右逆元。对于每个 G 中的 a，存在一个 G 中的元素 x 使得 a*x = e。

这些看起来更弱的公理对天然的蕴含于 A3 和 A4 中。我们现在证明逆过来也是真的。

定理: A1 和 A2 ，A3’ 和 A4’ 蕴含 A3 和 A4。

证明。假设给出了左单位元 e 和 G 中的 a，根据 A4’存在一个 x 使得 x*a = e。

我们欲证明的是 a*x = e。 根据 A4’存在 G 中的一个 y 有着:

${\displaystyle y*(a*x)=e\quad (1)}$ 

所以:

e	= y * (a * x)	(1)
	= y * (a * (e * x))	(A3')
	= y * (a * ((x * a) * x))	(A4')
	= y * (a * (x * (a * x)))	(A2)
	= y * ((a * x) * (a * x))	(A2)
	= (y * (a * x)) * (a * x)	(A2)
	= e * (a * x)	(1)
	= a * x	(A3')

这确立了 A4。

a * e	= a * (x * a)	(A4)
	= (a * x) * a	(A2)
	= e * a	(A4)

这确立了 A3。

定理: A1 和 A2，A3’’和 A4’’蕴含 A3 和 A4。

证明。类似上述。

单位元唯一

定理 1.4: 群 <G,*> 的单位元是唯一的。

证明: 假设 e 和 f 是 G 的两个单位元。则

e	= e * f	(A3)
	= f	(A3')

在讨论和比较不同的群的时候，e_G 指示特定群 <G,*> 的唯一单位元。

逆元唯一

定理 1.5: <G,*> 中每个元素的逆元是唯一的。

证明: 假设 h 和 k 是 G 的元素 g 的两个逆元。则

h	= h * e	(A3)
	= h * (g * k)	(A4)
	= (h * g) * k	(A2)
	= (e * k)	(A4)
	= k	(A3)

没有歧义性的，对于所有 G 中的a，我们指示 a 的唯一逆元为 a ^-1。

拉丁方阵性质

定理 1.3: 对于所有 G 中元素 a,b，存在唯一的 G 中的 x 使得 a*x = b。

证明。的确存在至少一个这种 x，因为如果我们设 x = a ^-1*b，则 x 在 G 中(通过 A1，闭包)并且:

• a*x = a*(a ^-1*b) (代换 x)
• a*(a ^-1*b) = (a*a ^-1)*b (结合律 A2)。
• (a*a ^-1)*b = e*b = b. (单位元 A3)。
• 因此总是存在一个 x 满足 a*x = b。

为了证明这是唯一性的，如果 a*x = b，则

• x = e*x
• e*x = (a ^-1*a)*x
• (a ^-1*a)*x = a ^-1*(a*x)
• a ^-1*(a*x) = a ^-1*b
• 因此，x = a ^-1*b

类似的，对于所有 G 中的 a,b，存在唯一的一个 G 中的 y 使得 y*a = b。

两次逆换回到起点

定理 1.6: 对于所有群 G 中的元素 a，(a ^-1) ^-1 = a。

证明。a ^-1*a = a ^-1*(a ^-1) ^-1=e。(A4)

由定理 1.5知定理1.6成立。

ab的逆元

定理 1.7: 对于所有群 G 中元素 a,b，(a*b) ^-1 = b ^-1*a ^-1。

证明。(a*b)*(b ^-1*a ^-1) = a*(b*b ^-1)*a ^-1 = a*e*a ^-1 = a*a ^-1 = e。结论得出自定理 1.4。

消除

定理 1.8: 对于所有群 G 中的元素 a,x 和 y，如果 a*x = a*y，则 x = y；并且如果 x*a = y*a，则 x = y。

证明。如果 a*x = a*y 则:

• a ^-1*(a*x) = a ^-1*(a*y)
• (a ^-1*a)*x = (a ^-1*a)*y
• e*x = e*y
• x = y

如果 x*a = y*a 则

• (x*a)*a ^-1 = (y*a)*a ^-1
• x*(a*a ^-1) = y*(a*a ^-1)
• x*e = y*e
• x = y

幂

对于 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$  和 ${\displaystyle a\in G}$  我们定义:

${\displaystyle a^{n}:={\begin{cases}\underbrace {a*a*\cdots *a} _{n{\mbox{times}}},&{\mbox{if }}n>0\\1,&{\mbox{if }}n=0\\\underbrace {a^{-1}*a^{-1}*\cdots *a^{-1}} _{-n{\mbox{times}}},&{\mbox{if }}n<0\end{cases}}}$ 

定理 1.9: 对于所有群 <G,*> 中的 a，${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} }$ :

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{m}*a^{n}&=&a^{m+n}\\(a^{m})^{n}&=&a^{m*n}\end{matrix}}}$ 

类似的如果 G 使用了加法符号，我们有:

${\displaystyle n*a:={\begin{cases}\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n{\mbox{times}}},&{\mbox{if }}n>0\\0,&{\mbox{if }}n=0\\\underbrace {(-a)+(-a)+\cdots +(-a)} _{-n{\mbox{times}}},&{\mbox{if }}n<0\end{cases}}}$ 

并且:

${\displaystyle {\begin{matrix}(m*a)+(n*a)&=&(m+n)*a\\m*(n*a)&=&(m*n)*a\end{matrix}}}$ 

群元素的阶

群 G 中的元素 a 的阶是最小正整数 n 使得 aⁿ = e。有些它写为“o(a)=n”。n 可以是无限的。

定理 1.10: 其非平凡元素都是 2 阶的群是阿贝尔群。换句话说，如果所有群 G 中的元素 g 都有 g*g=e 成立，则对于所有 G 中的 a,b，a*b = b*a。

证明 1。设 a, b 是群 G 中任何 2 个元素。 由 公理 A1 可知 (a*b) 是群 G 的元素，所以 (a*b) 是群 G 的 2 阶元素

• a*b*a*b = (a*b)*(a*b) = e ...(1) by 公理 A2
• a*b*b*a = a*e*a = a*a= e ...(2) by a,b都是群 G 的 2 阶元素
• a*b*b*a = a*b*a*b ...(3) by 式(1),式(2)两式皆等于e
• b*b*a = b*a*b ...(4) by 定理 1.8
• b*a = a*b ...(5) by 定理 1.8

因为群运算 * 是符合交换律的，这个群是阿贝尔群。

证明 2。设 a, h 是群 G 中任何 2 个元素。通过 A1，a*h 也是 G 的成员。使用给定条件，我们知道 (a*h)*(a*h) = e。因此:

• a*(a*b)*(a*b) = a*e
• a*(a*b)*(a*b)*b = a*e*b
• (a*a)*(b*a)*(b*b) = (a*e)*b
• e*(b*a)*e = a*b
• b*a = a*b。

因为群运算 * 是符合交换律的，这个群是阿贝尔群。

群的阶

群 G 的阶，通常指示为 |G| 或偶尔指示为 o(G)，在 <G,*> 是有限群的情况下是集合 G 中元素的数目。如果 G 是无限集合，则群 <G,*> 有等于 G 的势的阶，而且是无限群。

G 的子集 H 被称为群 <G,*> 的子群，如果使用相同的算子 "*"，并限制于子集 H 内，H 满足群公理。因此如果 H 是 <G,*> 的子群，则 <H,*> 也是群，并在限制于 H 内，满足上述定理。子群 H 的阶是 H 中元素的数目。

群 G 的真子群是不同于 G 的子群。G 的非平凡子群(通常)是包含至少一个不是 e 的元素的 G 的真子集。

定理 2.1: 如果 H 是 <G,*> 的子群，则 在 H 中的单位元 e_H 同一于 (G,*) 中的单位元 e。

证明。如果 h 在 H 中，则 h*e_H = h；因为 h 必定也在 G 中，h*e = h；所以通过定理 1.4，e_H = e。

定理 2.2: 如果 H 是 G 的子群，并且 h 是 H 的元素，则 h 在 H 中的逆元同一于 h 在 G 中的逆元。

证明。设 h 和 k 是 H 的元素，使得 h*k = e；因为 h 必定也在 G 中，h*h ^-1 = e；所以通过定理 1.5，k = h ^-1。

给定 G 的子集 S，我们经常想要确定 S 是否也是 G 的子群。一个手头的定理对无限群和有限群都是有效的:

定理 2.3: 如果 S 是 G 的非空子集，则 S 是 G 的子群，当且仅当对于所有 S 中的 a,b，a*b ^-1 在 S 中。

证明。如果对于所有 S 中的 a, b，a*b ^-1 在 S 中，则

• e 在 S 中，因为 a*a ^-1 = e 在 S 中。
• 对于所有 S 中的 a，e*a ^-1 = a ^-1 在 S 中。
• 对于所有 S 中的 a, b，a*b = a*(b ^-1) ^-1 在 S 中。

因此，满足了闭包、单位元和逆元公理，而结合律是继承来的，所以 S 是子群。

反过来说，如果 S 是 G 的子群，则它满足群公理。

• 如上所述，S 中单位元同一于 G 中的单位元 e。
• 通过 A4，对于所有 S 中的 b，b ^-1 在 S 中。
• 通过 A1，a*b ^-1 在 S 中。

两个或更多个子群的交集也是子群。

定理 2.4: 群 G 的子群的任何非空集合的交集是子群。

证明。设 {H_i} 是 G 的子群的集合，并设 K = ∩{H_i}。通过定理 2.1，e 是所有 H_i 的成员；因此 K 非空。如果 h 和 k 是 K 的两个元素，则对于所有 i，

• h 和 k 在 H_i 中。
• 通过前面的定理，h*k ^-1 在 H_i。
• 所以，h*k ^-1 在 ∩{H_i} 中。

因此对于 K 中的所有 h, k，h*k ^-1 在 K 中。接着通过前面的定理，K=∩{H_i} 是 G 的子群；并且事实上 K 是每个 H_i 的子群。

给定一个群 <G,*>，定义 x*x 为 x², x*x*x*...*x (n 次)为 xⁿ，并定义 x⁰ = e。类似的，定义 x ^-n 为 (x ^-1)ⁿ。则我们有:

定理 2.5: 设 a 是群 (G,*) 的元素。则集合 { aⁿ: n 是整数 } 是 G 的子群。

证明。这种类型的子群叫做循环子群；a 的幂的子群经常写为 <a>，并称为 a 生成 <a>。

如果 S 和 T 是 G 的子集，并且 a 是 G 的元素，我们写“a*S”来提及形如 a*s 的所有元素构成的 G 的子集，这里的 s 是 S 的元素；类似的，我们写“S*a”来指示形如 s*a 的元素的集合。我们写 S*T 表示形如 s*t 的元素构成的 G 的子集，这里的 s 是 S 的元素而 t 是 T 的元素。

如果 H 是 G 的子群，则 H 对于某个 G 中的 a 的左陪集是集合 a*H。右陪集是集合 H*a。

如果 H 是 G 的子群，则下面陈述而不带证明的有用定理对所有陪集都成立:

• 如果 x 和 y 是 G 的元素，则要么 x*H = y*H，要么 x*H 和 y*H 有空交集。

• 所有 H 在 G 中的左(右)陪集都包含相同数目的元素。

• G 是 H 的左(右)陪集们的不交并集。

• 那么 H 的不相同的左陪集的数目等于 H 的不相同的右陪集的数目。

定义群 G 的子群 H 的指标(写为“[G:H]”)为 H 在 G 中不同的左陪集的数目。

从这些定理，我们可以推导出重要的拉格朗日定理，它有关于群的子群的阶:

• 拉格朗日定理: 如果 H 是 G 的子群，则 |G| = |H|*[G:H]。

对于有限群，它可以重申为:

• 拉格朗日定理: 如果 H 是有限群 G 的子群，则 H 的阶整除 G 的阶。

• 如果群 G 的阶是素数，G 是循环群。

• 群论
• 阿贝尔群
• 群论术语

• Jordan, C. R and D.A. Groups. Newnes (Elsevier), ISBN 0-340-61045-X
• Scott, W R. Group Theory. Dover Publications, ISBN 0-486-65377-3