科恩-麦考利环

若交换局部环 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$  满足 ${\displaystyle \mathrm {depth} _{\mathfrak {m}}(R)=\dim R}$ ，其中 depth 表深度而 dim 表克鲁尔维数，则称之为Cohen-Macaulay环。此性质在局部化之下不变。

一般而言，若交换环 ${\displaystyle R}$  对所有素理想的局部化皆为Cohen-Macaulay环，则称之为Cohen-Macaulay 环。

若一个概形的所有局部环皆为Cohen-Macaulay环，称之为Cohen-Macaulay概形。

• 正则局部环皆为 Cohen-Macaulay 环。
• Gorenstein环皆为 Cohen-Macaulay，其中重要的特例是完全交环。
• 有理奇点对应到 Cohen-Macaulay 环，却不一定是 Gorenstein 环。
• 阿廷环皆为 Cohen-Macaulay 环。
• 设 ${\displaystyle k}$  为域，幂级数环 ${\displaystyle k[[t]]}$  的一维子环 ${\displaystyle k[[t^{2},t^{5}]]}$  并非正则环，而仍属 Gorenstein 环。
• 承上，${\displaystyle k[[t^{3},t^{4},t^{5}]]}$  并非 Gorenstein 环，而仍属 Cohen-Macaulay 环。
• 一般而言，任何一维的诺特整环都是 Cohen-Macaulay 环。

Cohen-Macaulay 条件的一种诠释见诸凝聚对偶性，其中模的“对偶化对象”本属于某个导范畴，当考虑的环是 Cohen-Macaulay 环时，该对象可由某个模代表。Gorenstein 条件则更精细，它断言此对偶对象由可逆层代表。正则性最强，它对应于交换环谱在该点的平滑性。就几何观点，Gorenstein 与 Cohen-Macaulay 条件是平滑性的逐步推广，在此框架下可以证明较广的几何定理。

设 ${\displaystyle R}$  为诺特环，${\displaystyle I\subset R}$  为其理想。若对每个 ${\displaystyle R/I}$  的相伴素理想 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  皆有 ${\displaystyle \mathrm {ht} (I)=\mathrm {ht} ({\mathfrak {p}})}$ ，则称 ${\displaystyle I}$  为纯粹的。若每个能由 ${\displaystyle \mathrm {ht} (I)}$  个元素生成之理想 ${\displaystyle I}$  都是纯粹的，则称 ${\displaystyle R}$  满足纯粹性定理。一个诺特环 ${\displaystyle R}$  满足纯粹性定理当且仅当它是 Cohen-Macaulay 环。

• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
• I.S. Cohen, On the structure and ideal theory of complete local rings Trans. Amer. Math. Soc. , 59 (1946) pp. 54–106
• V.I. Danilov, Cohen-Macaulay ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry (Springer), 编辑
  • V.I. Danilov, Cohen–Macaulay ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • MathWorld 页面 （页面存档备份，存于互联网档案馆）