科恩-麦考利环

交换代数中,Cohen-Macaulay环是对应到一类代数几何性质(例如局部等维性)的交换环

此概念依数学家弗朗西斯·索尔比·麦考利Francis Sowerby Macaulay)与欧文·索尔·科恩Irvin S. Cohen) 命名,麦考利(1916年)证明了多项式环纯粹性定理,科恩(1946年)则证明了幂级数环的情形;事实上所有Cohen-Macaulay环都具纯粹性。

形式定义

若交换局部环   满足  ,其中 depth 表深度而 dim 表克鲁尔维数,则称之为Cohen-Macaulay环。此性质在局部化之下不变。

一般而言,若交换环   对所有素理想的局部化皆为Cohen-Macaulay环,则称之为Cohen-Macaulay 环

若一个概形的所有局部环皆为Cohen-Macaulay环,称之为Cohen-Macaulay概形

例子

  • 正则局部环皆为 Cohen-Macaulay 环。
  • Gorenstein环皆为 Cohen-Macaulay,其中重要的特例是完全交环
  • 有理奇点对应到 Cohen-Macaulay 环,却不一定是 Gorenstein 环。
  • 阿廷环皆为 Cohen-Macaulay 环。
  •  幂级数  的一维子环   并非正则环,而仍属 Gorenstein 环。
  • 承上,  并非 Gorenstein 环,而仍属 Cohen-Macaulay 环。
  • 一般而言,任何一维的诺特整环都是 Cohen-Macaulay 环。

几何诠释

Cohen-Macaulay 条件的一种诠释见诸凝聚对偶性,其中模的“对偶化对象”本属于某个导范畴,当考虑的环是 Cohen-Macaulay 环时,该对象可由某个模代表。Gorenstein 条件则更精细,它断言此对偶对象由可逆层代表。正则性最强,它对应于交换环谱在该点的平滑性。就几何观点,Gorenstein 与 Cohen-Macaulay 条件是平滑性的逐步推广,在此框架下可以证明较广的几何定理。

纯粹性定理

 诺特环  为其理想。若对每个  相伴素理想   皆有  ,则称  纯粹的。若每个能由   个元素生成之理想   都是纯粹的,则称   满足纯粹性定理。一个诺特环   满足纯粹性定理当且仅当它是 Cohen-Macaulay 环。

文献