有限域算术

有限域算术是数学领域抽象代数中的一个概念。它是指在有限域之中进行的算术，其中有限域是一种域，其包含元素数量是有限的。作为比较，无限域算术则是在有无限多元素的域（如有理数）当中的算术。

不同的有限域有无限多种，它们的势（英语：Cardinality）皆能以 $p^{n}$ 的形式表示，其中 $\ p$ 是一个素数，而 $n$ 则为自然数。两个元素数量相同的有限域称做同態的。 $p$ 同时代表此有限域的特征数，而 $\ n$ 则是此有限域的维度。

有限域有许多不同的应用，包含编码理论与线性区块码（例如BCH码和里德-所罗门码），以及在密码学中的算法（例如进阶加密标准）。

有效多项式表示

伽罗瓦域

有 $\ p^{n}$ 个元素的有限域可以表示成 $\ \mathrm {GF} (p^{n})$ ，其中 GF 为伽罗瓦域（英语：Galois field）的缩写。伽罗瓦域即为有限域的别称，以纪念现代群论的重要奠基者——埃瓦里斯特·伽罗瓦^[1]。

一个简单的例子是 $\ \mathrm {GF} (p)$ （也能可表示成 $\ \mathbf {Z} /p\mathbf {Z}$ 或 $\mathbb {F} _{p}$ ），其中 $\ p\$ 是一个素数。 $\ \mathrm {GF} (p)$ 是将正整数作以 $\ p\$ 为模的模算术后所得的结构。换言之，我们可以对整数进行加法、减法、乘法的算术，接着再以模算术将结果简化。因此 $\ \mathrm {GF} (p)$ 其实也是一种环。

以 $\ \mathrm {GF} (5)$ 为例

在 $\ \mathrm {GF} (5)$ 中， $4+3=2$ 而不会等于 $\ 7$ ，这是因为 $\ 7_{(}mod\ 5)=2$ 。而除法能理解为对其乘法逆元作乘法, 并可以使用扩充版的辗转相除法来计算。

以 $\ \mathrm {GF} (2)$ 为例

$\ \mathrm {GF} (2)$ 的加法为XOR,而乘法是AND. 由于唯一具有倒数的元素是数字1，除法则是恒等函数。

GF(pⁿ)的元素可表示为，在GF(p)之上严格小于n次数的多项式。运算则实行在先模除R，而R是一则在GF(p)之上，拥有n次数的不可约多项式, 例如运用多项式长除法。两则多项式P和Q则按常规运算；乘法则按如下进行: 先按常规计算W = P⋅Q, 然后计算模除R之后的余项(存在有更方便方法）。

当素数是2时，一般按常规可以把GF(pⁿ)的元素表示为二进制数, 按对应元素的二进制表示，多项式的每一项表示为一比特的，相对应元素的二进制数位，并且括号( "{"和"}" )或类似的分隔符也普遍附加于这些二进制数，或对应它们的十六进制的同等数，以表明数值确确是域内的一则元素。举例说明, 下列数都在具有2的特征下持有相同的数值。

多项式: x⁶ + x⁴ + x + 1
二进制: {01010011}
十六进制: {53}

加法和减法

加法和减法可实施在加与减这两则多项式，再而使用模除其特征值以简化。

在一则特征值为2的有限域之中，加法模2，减法模2，如同使用XOR. 因此，

多项式: (x⁶ + x⁴ + x + 1) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x) = x⁷ + x⁴ + x³ + 1
二进制: {01010011} + {11001010} = {10011001}
十六进制: {53} + {CA} = {99}

在常规的无限域的多项式的加法下，计算之和需要包含单项 2x⁶. 但在有限域的加法下， 0x⁶则被去掉，因为其计算结果被模2所消除。

下列是一则包含有对于一些多项式的，常规代数计算和与特征值为2的有限域的计算和，一同列出的图表。

p₁	p₂	p₁ + p₂ (normal algebra)	p₁ + p₂ in GF(2ⁿ)
x³ + x + 1	x³ + x²	2x³ + x² + x + 1	x² + x + 1
x⁴ + x²	x⁶ + x²	x⁶ + x⁴ + 2x²	x⁶ + x⁴
x + 1	x² + 1	x² + x + 2	x² + x
x³ + x	x² + 1	x³ + x² + x + 1	x³ + x² + x + 1
x² + x	x² + x	2x² + 2x	0

在计算机科学的诸多应用程序之中，特征值为2的有限域运算被简单化，称之为GF(2ⁿ) 伽罗瓦域, 使的这些领域在应用程序中，体现出一种特别大众化的选择。

乘法

乘法是在有限域之内，把乘积模除于，一则用来表示有限域的，简约过的不可约多项式。 (换句话说, 乘法再跟上使用，简约了的多项式充当除数的除法，然后余数则是它们的乘积。) 符号 "•" 可以用作于在有限域之内的乘法。

Rijndael有限域

Rijndael（Rijndael的发音近于"Rhine doll")使用包含256个元素的持有特征值是2的有限域，同时可被称之为伽罗瓦域GF(2⁸). 在乘法上它依赖下列简约多项式。

x⁸ + x⁴ + x³ + x + 1.

例如, {53} • {CA} = {01} 因为在Rijndael域中

(x⁶ + x⁴ + x + 1)(x⁷ + x⁶ + x³ + x)

= (x¹³ + x¹² + x⁹ + x⁷) + (x¹¹ + x¹⁰ + x⁷ + x⁵) + (x⁸ + x⁷ + x⁴ + x²) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x)

= x¹³ + x¹² + x⁹ + x¹¹ + x¹⁰ + x⁵ + x⁸ + x⁴ + x² + x⁶ + x³ + x

= x¹³ + x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x

与

x¹³ + x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x 模除 x⁸ + x⁴ + x³ + x¹ + 1 = (11111101111110 模 100011011) = {3F7E mod 11B} = {01} = 1 (十进制), 同时可被长除法所表示, (使用二进制注释. 注意 XOR在例题中的应用，而不是常规运算中的减法。):

                        
          11111101111110 (mod) 100011011
         ^100011011     
           1110000011110
          ^100011011    
            110110101110
           ^100011011   
             10101110110
            ^100011011  
              0100011010
             ^00000000  
               100011010
              ^100011011 
                00000001

（十六进制数字{53}和{CA}相互是乘法逆元，由于它们的乘积是1。)

^ C., Bruno, Leonard. Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world . Baker, Lawrence W. Detroit, Mich.: U X L. c. 2003: 171 [1999]. ISBN 978-0787638139. OCLC 41497065.

[:0-1] C., Bruno, Leonard. Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world . Baker, Lawrence W. Detroit, Mich.: U X L. c. 2003: 171 [1999]. ISBN 978-0787638139. OCLC 41497065.

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