不可约多项式

设F为一个体，一非常数多项式在F上不可约，若其系数属于F，且无法分解成两个系数为F之非常数多项式的乘积。

具整数系数（或更一般地，具唯一分解整环R内之系数）的多项式被称为在R上不可约，若该多项式为多项式环（在唯一分解整环上的多项式环也是一唯一分解整环）内的不可约元素，亦即该多项式不可逆、非零，且无法分解成两个系数在R内的不可逆多项式之乘积。另一个常用定义为，一多项式“在R上不可约”，若该多项式在R的分式环（若R为整数，即为一有理数体）上不可约。两种定义扩展了系数于一个体内之情形所给定的定义，所以在此情形下，非常数多项式系指不可逆且非零之多项式。

以下6个多项式给出了不可约的一些基本性质，以及其不可约多项式：

${\displaystyle p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,={(x+2)(x+2)}}$ ,

${\displaystyle p_{2}(x)=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}}$ ,

${\displaystyle p_{3}(x)=9x^{2}-3\,=3(3x^{2}-1)\,=3(x{\sqrt {3}}-1)(x{\sqrt {3}}+1)}$ ,

${\displaystyle p_{4}(x)=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)}$ ,

${\displaystyle p_{5}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})}$ ,

${\displaystyle p_{6}(x)=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}}$ .

在整数环${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 上，前三个多项式是可约的（第3个也是可约的，因为因式3在整数里不可逆），最后两个多项式则不可约。（第4个多项式则不是个在整数上的多项式。）

在有理数体${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上，前两个及第四个多项式是可约的，但其他三个多项式则不可约（作为在有理数上之多项式，3是个单位，因此无法视为一个因式。）

在实数体${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上，前五个多项式都是可约的，但第六个多项式仍为不可约。

在复数体${\displaystyle \mathbb {C} }$ 上，所有六个多项式均是可约的。

在复数域（或更一般地，在代数闭域）上，一单变量多项式为不可约，当且仅当该多项式的阶为1。此即复数域中的代数基本定理（或更一般地，在代数闭域中）。

可知，每个非常数单变量多项式都可被分解为

${\displaystyle a(x-z_{1})\cdots (x-z_{n})}$ 

其中n为该多项式的阶，a为该多项式的首项系数，且${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ 为该多项式的根（根有可能会相同）。

对多元多项式而言，各阶多项式在复数上都存在着不可约多项式。例如，定义了费马曲线的多项式

${\displaystyle x^{n}+y^{n}-1,}$ 

对每个正整数n而言，均为不可约。

在实数域上，不可约单变量多项式的阶不是1，就是2。更精确地说，不可约多项式为一阶多项式，以及具负判别式${\displaystyle b^{2}-4ac}$ 。之二次多项式${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ 。可知，每个非常数单变量多项式均可被分解成至少二阶之多项式的乘积。例如，${\displaystyle x^{4}+1}$ 在实数上分解为${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {2}}x+1)(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1),}$ ，且无法再进一步分解下去，因为两个因式的判别式均为负值：${\displaystyle (\pm {\sqrt {2}})^{2}-4=-2<0}$ 。

在体F上的每个多项式均可被分解成一非零常数与有限多个（在F上的）不可约多项式之乘积。此一分解除了因式的排序不同，及可被乘上任意个1之外，是唯一的。

在唯一分解整环上，同样的定理亦会成立，但可利用原始多项式的概念更精确地形式化。原始多项式是一个在唯一分解整环上的多项式，会使得1为其系数之最大公约数。

设F为唯一分解整环。在F上的非常数不可约多项式会是个原始多项式。在F上的原始多项式在F上不可约，当且仅当该多项式在F的分式环上不可约。每个在F上的多项式均可分解成一非零常数与有限多个非常数不可约原始多项式的乘积。该非零常数自身可分解成F内单位元与有限多个不可约元素的乘积。上述两种分解除了因式的排序不同，及可被乘上任意个单位元之外，均是唯一的。

此一定理使得“在唯一分解整环上的不可约多项式”之定义，通常会假设该多须式必须为非常数多项式。

所有目前已实现用来分解在整数上与在有理数上之多项式的算法都会用到此一结论（见多项式分解）。

在整数${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 上之多项式的不可约性与在体${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ （${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ，其中p为素数）上的不可约性相关连。尤其是，若在整数上的单变量多项式f在某些素数p无法整除f的首项系数之${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 上为不可约，则f在整数上为不可约。艾森斯坦判别法是此一性质的变体，亦涉及在${\displaystyle p^{2}}$ 上的不可约性。

不过，反之不一定成立：在整数上不可约的随意多阶多项式均有可能在每个有限域上是可约的^[3]。其中一个简单的例子为${\displaystyle x^{4}+1}$ 。

在整数上与在模p上的不可约性之间有着比上述结论更为深切的关系：迄止为止，所有实现用于在整数上与在有理数上之分解与不可约性的算法，都会使用在有限域上的分解作为其子程序。

多项式的唯一分解性质并不意味着给定一个多项式，总是可以计算出其分解。一个多项式的不可约性也不一定总是可借由直接计算来证明：存在体， 没有算法能用来判断其中随意多项式的不可约性。^[4]

用来分解多项式与判断其不可约性的算法，于在整数上、在有理数上、在有限域上，以及在这些体之有限生成域扩张上的多项式之中，都已被找到，并已实作于电脑代数系统里。

不可约多项式与代数域扩张之间密切相关，如下所述。

令x为体K的扩张L内之一元素。该元素被称为“代数”的，若该元素是系数属于K之多项式的根。在其根包括x之多项式中，会有且仅会有一个最小阶的首一多项式，称之为x的最小多项式。L内之代数元素x的最小多项式为不可约，且是以x为其根的唯一一个首一不可约多项式。x的最小多项式会整除每个其根包含x的多项式（阿贝尔不可约定理）。

相对地，若${\displaystyle P(X)\in K[X]}$ 是在体K上的一单变量多项式，且令${\displaystyle L=K[X]/P(X)}$ 为多项式环K[X]除以由P产生之理想所形成之商环，则L是个体，当且仅当P在K上为不可约。在此情形下，若x是X于L内的值，则x的最小多项式为P除以其首项系数之商。

复数的标准定义${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ 即为一例。

若一多项式P在K上有个大于1阶之不可约因式Q，上述代数扩张之建构可适用于Q，以得到一个比P在K内有更多根的扩张。重复此一建构，最终会得到能将P分解成线性因式的体。该体在体同态的意义下是唯一的，且称之为P的分裂域。

令R为一整环。R内非零，亦非单位元之一元素f被称为不可约，若不存在非单位元之元素g与h，使得f = gh。可证明，每个素元均为不可约^[5]；反之不一定成立，但在唯一分解整环内为真。在一体F（或任一唯一分解整环）上之多项式环F[x]亦为唯一分解整环。以此类推，若R为唯一分解整环，可知在环R上具n个未变量的多项式环也会是唯一分解整环。

• 高斯引理 (多项式)
• 有理根定理，寻找一个多项式是否具有有理数系数之线性因式的方法。
• 艾森斯坦判别法
• 佩龙方法
• 希尔伯特不可约定理
• 科恩不可约准则
• 拓扑空间的不可约成分
• 有限域上多项式之分解
• 四次函数#分解成二次函数求解
• 三次函数#因式分解
• 不可约情形，具三个实根的不可约三次多项式
• 二次方程#二次因式分解

• Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556 .包含本条目大部分内容的经典书籍。
• Gallian, Joseph, Contemporary Abstract Algebra 8th, Cengage Learning, 2012 
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald, Finite fields 2nd, Cambridge University Press, 1997, ISBN 978-0-521-39231-0 , pp. 91 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett, Algebra 3rd, American Mathematical Society, 1999 
• Menezes, Alfred J.; Van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A., Handbook of applied cryptography, CRC Press, 1997, ISBN 978-0-8493-8523-0 , pp. 154.
• Hungerford, Thomas W., Algebra, Graduate Texts in Mathematics 73 Reprint of 1974, New York: Springer-Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-90518-1, MR 0600654 

• 埃里克·韦斯坦因. Irreducible Polynomial. MathWorld. 
• Irreducible Polynomial at PlanetMath.
• Information on Primitive and Irreducible Polynomials, The (Combinatorial) Object Server.