不可约元素

不可约元素和质元素不同，交换环${\displaystyle R}$ 内的非零、非单位元素${\displaystyle a}$ 为质元素，表示若在交换环${\displaystyle R}$ 内存在${\displaystyle b}$ 及${\displaystyle c}$ ，使得${\displaystyle a|bc}$ ，则${\displaystyle a|b}$ 或${\displaystyle a|c}$ 必定有一个成立。

在整环中，每一个质元素都是不可约元素^[1][2]，但一般而言，不可约元素不会是质元素。只有在唯一分解整环（或范围更广的GCD环）中的不可约元素才一定是质元素。

再者，一个用质元素产生的理想为素理想，但由不可约元素产生的理想一般不会是不可约理想（英语：irreducible ideal）。不过，若${\displaystyle D}$ 为GCD环，且${\displaystyle x}$ 为${\displaystyle D}$ 环中的不可约元素，则产生的理想会是素理想^[3]。

在二次整数环（英语：quadratic integer ring）${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ 中，可以用范数证明 3 是不可约元素。不过，3 不是质元素，因为

${\displaystyle 3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,}$ 

但 ${\displaystyle 3}$  无法整除 ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$ ，也无法整除 ${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$ 。^[4]

• 不可约多项式

• Sharpe, David. Rings and factorization. Cambridge University Press. 1987. ISBN 0-521-33718-6. Zbl 0674.13008.