GCD环

GCD环是一种有特殊性质的整环R，满足其中任二个非零的元素都有最大公因数（GCD），或者等价的，都有最小公倍数（LCM）[1]。

GCD环是将唯一分解整环推广到非诺特环的情况，事实上，一个整环是唯一分解整环若且惟若其为满足主理想升链条件（英语：ascending chain condition on principal ideals）的GCD环。

性质

GCD环中每个不可约元素都是质元素（不过GCD环中不一定要有不可约元素，其至GCD环可能不是一个域）。GCD环是 整数封闭（英语：integrally closed）的，且其中每一个非零的元素都是素性元素（英语：primal element）[2]。换句话说，每个GCD环都是Schreier环（英语：Schreier domain）。

针对GCD环R中的每一对元素x和y，其最大公因数d及最小公倍数m可以选择为使dm = xy成立的数值，换句话说，若x和y为非零元素，而d是x的y的任何一个最大公因数，则xy/d为x和y的最小公倍数，反之亦然。

若R是GCD环，其多项式环R[X1,...,Xn]也是GCD环[3]。

针对一个GCD环中的多项式X，可以定义其内容为所有系数的最大公因数。因此多项式乘积的内容即为其多项式内容的乘积，如同高斯引理叙述的一样。

举例

  • 唯一分解整环是GCD环，唯一分解整环是GCD环中恰好也是原子环（每一个非零非单位元素，至少有一种分解为不可约元素乘积的方式）的部分。
  • Bézout环（英语：Bézout domain）（每个有限生成的理想都是主要理想的整环）是GCD环。Bézout环不同于主要理想环（英语：Principal ideal domain）（每个理想都是主要理想），Bézout环不一定要是唯一分解整环，例如一个整函数的环是非原子性的Bézout环，也有许多其他类似的例子。整环是Prüfer（英语：Prüfer domain）的GCD环的充份必要条件是其为Bézout环[4]
  • 若R是非原子性的GCD环，则R[X]是GCD环中既不是唯一分解整环（因为非原子性），也不是Bézout环（因为X和R一个不能取倒数的非零元素a可以产生一个不包括1的理想，但1是X和a的最大公因数）的例子。任何符合此条件的环R[X1,...,Xn]都有类似性质。

参考资料

  1. ^ Scott T. Chapman, Sarah Glaz (ed.). Non-Noetherian Commutative Ring Theory. Mathematics and Its Applications. Springer. 2000: 479. ISBN 0-7923-6492-9. 
  2. ^ planetmath proof. [2015-08-26]. （原始内容存档于2012-03-15）. 
  3. ^ Robert W. Gilmer, Commutative semigroup rings, University of Chicago Press, 1984, p. 172.
  4. ^ Ali, Majid M.; Smith, David J., Generalized GCD rings. II, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 2003, 44 (1): 75–98 [2015-08-26], MR 1990985, （原始内容存档于2015-09-24） . P. 84: "It is easy to see that an integral domain is a Prüfer GCD-domain if and only if it is a Bezout domain, and that a Prüfer domain need not be a GCD-domain.".