德林费尔德模

加性多项式环

设 ${\displaystyle L}$  为特征 ${\displaystyle p>0}$  的域。定义其上的非交换多项式环 ${\displaystyle L\{\tau \}}$ 

a₀ + a₁τ + a₂τ² + ...

乘法由下述条件确定

${\displaystyle \tau a=a^{p}\tau }$ 

元素 ${\displaystyle \tau }$  可设想为弗罗贝尼乌斯映射。事实上，${\displaystyle L}$  是左 ${\displaystyle L\{\tau \}}$ -模，其中 ${\displaystyle L}$  以乘法作用而 ${\displaystyle \tau }$  以 ${\displaystyle a\mapsto a^{p}}$  映射。环 ${\displaystyle L\{\tau \}}$  也可以看作是如下多项式的集合

${\displaystyle a_{0}X^{1}+a_{1}X^{p}+a_{2}X^{p^{2}}+\cdots =a_{0}\tau ^{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots \in L[X]}$ 

这类多项式满足 ${\displaystyle f(X+Y)=f(X)+f(Y)\in L[X,Y]}$ ，故称加性多项式；此环的乘法由多项式的合成给出，而非乘法，故非交换。

形式定义

今设 ${\displaystyle A}$  为交换环，L 上的 德林费尔德 A-模定义为环同态 ${\displaystyle \psi :A\to L\{\tau \}}$ ，使得 ${\displaystyle \psi (A)}$  不包含于 ${\displaystyle L}$ ；此条件意在排除一些平凡例子。环 ${\displaystyle A}$  通常取作某条有限域上的仿射曲线的坐标环。

${\displaystyle L\{\tau \}}$  可视为加法群 ${\displaystyle (L,+)}$  的自同态，而德林费尔德 A-模可视为 ${\displaystyle A}$  在 ${\displaystyle (L,+)}$  上的作用。

例子

• 置 ${\displaystyle A:=\mathbb {F} _{p}[T]}$ ，对应到亏格为一的仿射代数曲线。德林费尔德模 ${\displaystyle \psi :A\to L\{\tau \}}$  仅依赖于像 ${\displaystyle \psi (T)\in L\{\tau \}\setminus L}$ 。此时德林费尔德模可等同于 ${\displaystyle L\{\tau \}\setminus L}$ 。对于亏格更高的曲线，德林费尔德模会更复杂。
• 承上，Carlitz 模是由 ${\displaystyle \psi (T)=T+\tau }$ ，${\displaystyle L}$  为含 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$  的完备代数封闭域给出的德林费尔德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展开研究，详见Goss 的著作第三章 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 。

设 ${\displaystyle X}$  是有限域 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$  上的代数曲线。对概形或叠 ${\displaystyle U}$ ，其上的秩 r （右）штука 由下列资料定义：

• ${\displaystyle U\times X}$  上的秩 r 局部自由层 ${\displaystyle E,E'}$  及单射

${\displaystyle E\rightarrow E'\leftarrow (\mathrm {Fr} ^{*}\times 1)^{*}E}$ 

其余核的支撑集包括于某态射 ${\displaystyle U\to X}$  的图（称为该 штука 的零点与极点，记为 ${\displaystyle 0}$  与 ${\displaystyle \infty }$ ），且在支撑集上是秩 ${\displaystyle 1}$  局部自由层。在此 ${\displaystyle \mathrm {Fr} }$  表 ${\displaystyle U}$  上的弗罗贝尼乌斯态射。

左 штука 的定义类似，但态射的方向反转；若极点与零点集互斥，则实际上无分左右。

粗略而言，考虑不同的 ${\displaystyle U}$ ，可得代数叠 ${\displaystyle \mathrm {Sht} ^{r}}$  及 ${\displaystyle \mathrm {Sht} ^{r}\times X}$  上的“万有 штука”，并有相对维度 $2$ 的平滑态射 ${\displaystyle (\infty ,0):\mathrm {Sht} ^{r}\to X\times X}$ 。注意到当 ${\displaystyle r>1}$  时，叠 ${\displaystyle \mathrm {Sht} ^{r}}$  并非有限型的。

德林费尔德模可在某种意义下视作特别的 штука（自定义观之，这绝非明显），详见 Drinfel'd, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

简言之，函数域上的郎兰兹猜想是关于 ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$  的尖点自守表示及某个伽罗瓦群的表示之间的对应。德林费尔德利用 штука 证明${\displaystyle n=2}$ 的情形。此猜想的难处在于构造满足特定性质的伽罗瓦表示，德林费尔德的高处在于从某个秩 ${\displaystyle 2}$  штука 的模空间的 ${\displaystyle \ell }${\displaystyle \ell }  -进上同调入手，找出相应的伽罗瓦表示。

德林费尔德认为此法可延伸至 ${\displaystyle n\geq 2}$  的情形。拉福格最后克服了其中的大量技术困难，完成证明。

德林费尔德模

• V. Drinfel'd, Elliptic modules (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1974) 561-592.
• D. Goss, Basic structures of function field arithmetic, ISBN 3-540-63541-6
• Drinfel'd module （页面存档备份，存于互联网档案馆） in the Springer encyclopaedia of mathematics
• G. Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II, Cambridge university press 1996

штука

• Drinfel'd, V. G. Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821
• Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
• D. Goss, What is a shtuka? （页面存档备份，存于互联网档案馆） Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

拉福格在郎兰兹猜想方面的工作

• Lafforgue, L. Chtoucas de Drinfeld et applications. （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Drinfeld shtukas and applications) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 563--570
• Lafforgue, Laurent Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands. (Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.
• Gérard Laumon, The work of Laurent Lafforgue Archive.is的存档，存档日期2012-12-05 Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97
• G. Laumon La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d'apres Laurent Lafforgue) (The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873