坡印亭定理

一般形式

用语言描述，此定理是说能量守衡：^[2]

此定理还有一种陈述：

数学上，用微分形式概括为：

${\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} _{f}\cdot \mathbf {E} }$

其中 ∇•S 是坡印亭矢量（能量流）的散度，而 J•E 是场中带电物体做功的功率（J 为对应于电荷运动的自由电流密度，E 为电场强度，• 为点积）。能量密度 u 为：^[3]

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)}$ 

其中 D 是电位移矢量，B 是磁感应强度而 H 是磁场强度，ε₀ 是真空电容率，μ₀ 是真空磁导率。 由于电荷可以自由移动，D 与 H 场忽略任何束缚电荷和电流的电荷分布（由定义），J 是自由电流密度，不是全电流的电流密度。

利用散度定理，坡印亭定理可以改写为积分形式：

${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}udV=}$ ${\displaystyle \oiint }$  ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {S} \cdot d\mathbf {A} +\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} dV}$

其中 ${\displaystyle \partial V\!}$  为 V 的边界。该体积的形状似任意的但对于计算是固定的。

电气工程

在电气工程中，该定理通常写成以下把能量密度 u 展开的形式，这与流体力学之连续性方程相似：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0,}$ 

其中

• ${\displaystyle \epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$  是驱动电场建立的无功功率的密度，
• ${\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$  是驱动磁场建立的无功功率的密度，
• ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$  由洛仑兹力作用在载流子上损耗的电功率的密度。

虽然能量守恒定律和洛伦兹力定律可以导出该定理的一般形式，要推导坡印亭矢量的表达式并由此完整叙述，还需要用到麦克斯韦方程组。

坡印亭定理

考虑到以上叙述 - 这个定理有三个元素，涉及将（单位时间）能量转移写成体积分（英语：Volume integral）：^[2]

所以，根据能量守恒定律，单位时间内的能流平衡方程是该定理的积分形式：

${\displaystyle -\int _{V}{\frac {\partial u}{\partial t}}dV=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {S} dV+\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} dV,}$ 

由于体积 V 是任意的，对所有体积来说都是成立的，这意味着

${\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$ 

这是坡印亭定理的微分形式。

坡印亭矢量

从定理可以得到坡印亭矢量 S 的实际形式。能量密度的时间导数（运用向量点乘的乘积法则）为

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {D} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}\right)=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},}$ 

使用本构关系^{[需要解释]}

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} .}$ 

时间偏导意味着要用到麦克斯韦方程组的两个方程。求麦克斯韦–法拉第方程与 H 的点积：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\nabla \times \mathbf {E} \ \rightarrow \ \mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} ,}$ 

再求麦克斯韦–安培方程与 E 的点积：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} \ \rightarrow \ \mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} =\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} .}$ 

总和目前的结果得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}-\nabla \cdot \mathbf {S} &={\frac {\partial u}{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\left(\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} ,\\\end{aligned}}}$ 

然后，利用向量微积分恒等式：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} \times \mathbf {H} =\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} ,}$ 

给出了坡印亭矢量的表达式：

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}$ 

物理上意味着由于时变电场和磁场的能量传递与这两种场垂直。

• 坡印亭矢量