曲面积分

数学上,曲面积分,也称为面积分(英语:Surface integral),是在曲面上的定积分(曲面可以是空间中的弯曲子集);它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面,可以在上面对标量场(也就是实数值的函数)进行积分,也可以对向量场(也就是向量值的函数)积分。

面积分在物理中有大量应用,特别是在电磁学经典物理学中。

面积分的定义依赖于将曲面细分成小的面积元。
单个面积元的图示。这些面积元通过极限过程成为无穷小的元素以逼近曲面。

标量场的面积分

考虑定义在曲面S上的实函数  ,计算面积分的一个办法是将曲面分割成很多小片,假设函数   在每小片的变化不大,且每个小片的近似计算的面积跟实际面积误差不大,任意取每片中函数   的值,然后乘以小片的近似面积,最后全部加起来得到一个值,当这种分割越来越细时,如果这值趋近一个实数,我们称这实数为实数值函数   在曲面   上的面积分。

要找到面积分的直接公式,首先需要参数化曲面S,也即在S上建立坐标系,就像球面上的经纬度。令参数化为x(s, t),其中(s, t)在某个平面上的区域T中变化。则   在曲面   的面积分为

 

其中  x(s, t)的偏导数外积这向量的长度,而   在微分几何里又叫作流形   的面积元素(Surface element)。

例如,如果要找出某个函数( )形状的曲面面积,就有

 

其中 。所以, ,且 。因此

 

这就是一般以   为参数的曲面其面积的标准公式。很容易认出第二行中的向量是曲面的法向量

注意,因为外积的存在,这里的公式只在曲面嵌入在三维空间中时适用。

向量场的面积分

 
曲面上的向量场。

考虑S上的向量场v,对于每个S上的点xv(x)是一个向量。想象一个穿过S的液体流,使得v(x)决定液体在x的速度。则流量定义为单位时间穿过S的液体量。

这个解释意味着如果向量场和S在每点相切,则流量为0,因为液体平行S流动,从而不进不出。这也意味着如果v不仅仅沿着S流动,也即,如果v既有切向分量也有法向分量,则只有法向分量对流量作出贡献。基于这个推理,要找出流量,我们必须取vS上每点的单位法向量点积,这就给出了一个标量场,然后就可以用上述方式积分。公式如下

 

右手边的叉积是由参数化所决定的法向量。

该公式定义为向量场vS上的面积分。

微分2-形式的面积分

 

为定义在曲面S上的2阶微分形式,并令

 

为一保定向的在曲面   上的参数化,其中 。利用变数变换,则  S上的面积分变成

 

其中

 

S的法向量。利用微分形式(2-form)的变数变换,我们有

 


也就是说,对   该2-形式的积分和以   为分量的向量场的面积分相同。

涉及面积分的定理

面积分中很多有用的结果可以用微分几何向量微积分导出,例如散度定理及其推广斯托克斯定理

进阶问题

注意面积分的定义中用到曲面S的参数化。而给定曲面可以有多种参数化。例如,如果移动球面上南极和北极的位置,所有球面上的点的经度和纬度都会改变。很自然就有面积分是否依赖于给定参数化的问题。对于标量场的积分,答案很简单:无论参数化为何,面积分不变。

对于向量场,情况复杂一些,因为积分时涉及到曲面的法向量。如果两个参数化下法向量的定向相同,则积分值不变。如果法向量定向相反,则积分值相反。因此,不需要规定特定的参数化,但是对于法向量,不同的参数化的定向必须保持一致。

另外一个问题是,有时曲面没有覆盖整个曲面的单一参数化;譬如对于有限长的圆柱面就是这样。一个直接的解决办法就是将曲面切成几片,在每一片上求面积分,然后加起来。这就是正确的办法,但是对向量场积分的时候,必须小心,要让每个小片的法向量定向和周围的一致。对于柱面来讲,也就是让所有片的法向量向外指。

最后一个问题是,有些曲面没有一个一致的法向量(譬如莫比乌斯带)。对于这样的曲面,无法找到一致的定向。这样的曲面称为不可定向的,在其上无法进行向量场的积分。

参看

参考

  • Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905

外部链接