电流密度

电流密度 J 可以简单地定义为通过单位面积 A（国际单位：m²）的电流 I（国际单位：A）。它的量值由极限给出：^[1]

${\displaystyle J=\lim \limits _{A\rightarrow 0}{\frac {I(A)}{A}}}$ 

当电流密度作为向量 J 时，在曲面 S 上进行曲面积分后，再对持续时间 t₁ 到 t₂ 积分，得到 (t₂ − t₁) 这段时间流过该面的电荷总量：

${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\rm {d}}A{\rm {d}}t}$ 

计算通量所用到的面积可实可虚，可平可曲，可为截面也可为表面。例如，对于通过导体的载流子来说，这里遇到的面积是导体的截面。

对于电力系统和电子系统的设计而言，电流密度是很重要的。电路的性能与电流量紧密相关，而电流密度又是由导体的物体尺寸决定。例如，随着集成电路的尺寸越变越小，虽然较小的元件需要的电流也较小，为了要达到芯片内含的元件数量密度增高的目标，电流密度会趋向于增高。更详尽细节，请参阅摩尔定律。

在高频频域，由于趋肤效应，传导区域会更加局限于表面附近，因而促使电流密度增高。

电流密度过高会产生不理想后果。大多数电导体的电阻是有限的正值，会以热能的形式消散功率。为了要避免电导体因过热而被熔化或发生燃烧，并且防止绝缘材料遭到损坏，电流密度必须维持在过高值以下。假若电流密度过高，材料与材料之间的互连部分会开始移动，这现象称为电迁移（electromigration）。在超导体里，过高的电流密度会产生很强的磁场，这会使得超导体自发地丧失超导性质。

对于电流密度所做的分析和观察，可以用来探测固体内在的物理性质，包括金属、半导体、绝缘体等等。在这科学领域，材料学家已经研究发展出一套非常详尽的理论形式论，来解释很多机要的实验观察^[2]。

安培力定律描述电流密度与磁场之间的关系。电流密度是安培力定律的一个重要参数，

自由电流

大自然有很多种载有电荷的粒子，称为“带电粒子”，例如，导电体内可移动的电子、电解液内的离子、等离子体内的电子和离子、强子内的夸克^[3]。这些带电粒子的移动，形成了电流。电荷流动的分布可以由电流密度来描述：

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=qn(\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)=\rho (\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$ 是在位置${\displaystyle \mathbf {r} }$ 、在时间${\displaystyle t}$ 的电流密度向量，${\displaystyle q}$ 是带电粒子的电荷量，${\displaystyle n(\mathbf {r} ,t)}$ 是带电粒子密度，是单位体积的带电粒子数量，${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$ 是电荷密度，${\displaystyle \mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)}$ 是带电粒子的平均漂移速度。

电流密度时常可以近似为与电场成正比，以方程表达为

${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是电场，${\displaystyle \mathbf {J} }$ 是电流密度，${\displaystyle \sigma }$ 是电导率，是电阻率的倒数。

推导

欧姆定律示意图 电阻公式阐明，一个均匀截面的物体的电阻与电阻率和导体长度成正比，与截面面积成反比。以方程表达， ${\displaystyle R=\rho {\frac {\ell }{A}}}$ ； 其中，${\displaystyle R}$ 是电阻，${\displaystyle \ell }$ 是物体长度，${\displaystyle A}$ 是物体的截面面积，${\displaystyle \rho }$ 是电阻率。 根据欧姆定律，电压${\displaystyle V}$ 等于电流${\displaystyle I}$ 乘以电阻： ${\displaystyle V=IR}$ 。 所以， ${\displaystyle V=I\rho {\frac {\ell }{A}}}$ 。 注意到在物体内，电场与电压的关系为 ${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {V}{\ell }}{\hat {z}}}$ ； 其中，${\displaystyle {\hat {z}}}$ 是电流方向。 所以， ${\displaystyle \mathbf {E} =\rho {\frac {I}{A}}{\hat {z}}=\rho \mathbf {J} }$ 。 电导率为电阻率的倒数，${\displaystyle \sigma =1/\rho }$ 。电流密度与电场的关系为 ${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$ 。

采用更基础性的方法来计算电流密度。这方法建立于方程

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{t}\mathrm {d} t'\int \mathrm {d} ^{3}r'\;\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',\ t')}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 和${\displaystyle t'}$ 分别是位置积分变数和时间积分变数。

这方式显示出电导率${\displaystyle \sigma }$ 在时间方面的滞后响应，和在空间方面的非局域响应属性。原则上，通过微观量子分析，才能推导出来电导率函数。例如，对于足够弱小的电场，可以从描述物质的电导性质的线性响应函数（linear response function）推导^[4]。经过一番沉思，可以了解，这电导率和其伴随的电流密度反映出，在时间方面和在空间方面，电荷传输于介质的基本机制。

假设每当${\displaystyle \Delta t<0}$ 时，${\displaystyle \varepsilon _{r}(\Delta t)=0}$ ，则这积分的上限可以延伸至无穷大：

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} t'\int \mathrm {d} ^{3}r'\;\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',\ t')}$ 。

做一个对于时间与空间的傅里叶变换，根据折积定理，可以得到

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {k} ,\omega )=\sigma (\mathbf {k} ,\omega )\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\omega )}$ ；

其中，${\displaystyle \sigma (\mathbf {k} ,\omega )}$ 是参数为波矢${\displaystyle \mathbf {k} }$ 和角频率${\displaystyle \omega }$ 的电导率复函数。

许多物质的电导率是张量，电流可能不会与施加的电场同方向。例如，晶体物质这是这样的物质。磁场的施加也可能会改变电导行为。

穿过曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$ 的电流${\displaystyle I}$ 可以用面积分计算为

${\displaystyle I=\int _{\mathbb {S} }{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {J} }$ 是电流密度，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} }$ 是微小面元素。

由于电荷守恒，从某设定体积流出的电流的净流量，等于在这体积内部的电荷量的净变率。以方程表达，

${\displaystyle \int _{\mathbb {S} }{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }{\rho \ \mathrm {d} r^{3}}=-\ \int _{\mathbb {V} }{\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)\mathrm {d} r^{3}}}$ ；

其中，${\displaystyle \rho }$ 是电荷密度，${\displaystyle \mathrm {d} r^{3}}$ 是微小体元素，${\displaystyle \mathbb {V} }$ 是闭曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$ 所包围的体积。

这方程左边的面积分表示电流从闭曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$ 所包围的体积${\displaystyle \mathbb {V} }$ 流出来，中间和右边的体积分的负号表示，随着时间的前进，体积内部的电荷量逐渐减少。

根据散度定理，

${\displaystyle \int _{\mathbb {S} }{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} r^{3}}$ 。

所以，

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} r^{3}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ \mathrm {d} r^{3}}$ 。

注意到对于任意体积${\displaystyle \mathbb {V} }$ ，上述方程都成立。所以，两个被积式恒等：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-\ {\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$ 。

称这方程为连续方程^[5]。

• 霍尔效应
• 量子霍尔效应
• 超导现象
• 漂移速度