凯莱定理

Burnside^[1] 将其归功于Jordan^[2]，但是 Eric Nummela^[3]争论说这个定理的名字“凯莱定理”事实上是合适的。凯莱在他最初介绍群概念的1854年论文^[4]中证明了定理中的对应是一一对应，但是没能明确的证明它是同态(因此是同构)。但是，Nummela提示大家注意凯莱让当时的数学界知道了这个结果，因此比Jordan要提前了16年。

从初等群论中，知道了对于任何G中元素g必然有g*G = G；并通过消除规则知道了g*x = g*y当且仅当x = y。所以左乘g充当了双射函数f_g : G → G，通过定义f_g(x) = g*x。所以，f_g是G的排列，并因此是Sym(G)的成员。

Sym(G)的子集K定义为

K = {f_g : g ∈ G并且f_g(x) = g*x对于所有x ∈ G}

是同构于G的Sym(G)的子群。得出这个结果的最快方式是考虑函数T : G → Sym(G)对于所有G中的g有着T(g) = f_g。(对Sym(G)中的复合使用"·")，T是群同态因为：

(f_g · f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h*x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_(g*h)(x)，对于所有G中的x，因此：

T(g) · T(h) = f_g · f_h = f_(g*h) = T(g*h)。

同态T也是单射因为：T(g) = id_G（Sym(G)的单位元）蕴含了对于所有G中的x有g*x = x，选取x为G的单位元e产生g = g*e = e。可替代的，T(g)也是单射因为：g*x=g*x' 蕴含x=x' （通过左乘上g的逆元，因为G是群所以一定存在）。

因此G同构于T的像，它是子群K。

T有时叫做G的正规表示。

另一个的证明

另一个证明使用了群作用的语言。考虑群${\displaystyle G}$ 为G-集合，可以证明它有排列表示${\displaystyle \phi }$ 。

首先假设${\displaystyle G=G/H}$ 带有${\displaystyle H=\{e\}}$ 。则根据G-轨道分类这个群作用是${\displaystyle g.e}$ （也叫做轨道-稳定集定理）。

现在这个表示是忠实的，如果${\displaystyle \phi }$ 是单射，就是说，如果${\displaystyle \phi }$ 的核是平凡的。假设${\displaystyle g}$  ∈ ker ${\displaystyle \phi }$ ，则${\displaystyle g=g.e=\phi (g).e}$ ，通过排列表示和群作用的等价性。但是因为${\displaystyle g}$  ∈ ker ${\displaystyle \phi }$ , ${\displaystyle \phi (g)=e}$ 并因此ker ${\displaystyle \phi }$ 是平凡的。则im ${\displaystyle \phi <G}$ 并因此利用第一同构定理得出结论。

单位元对应于恒等排列。所有其他的群元素对应于不留下任何元素不变的排列。会因为这也适用于群元素的幂，小于这个元素的阶，每个元素对应于由相同长度的环构成的排列：这个长度是这个元素的阶。在每个环中的元素形成了这个元素生成的子群的左陪集。

Z₂ = {0,1}带有模2加法，群元素0对应于恒等排列e，群元素1对应于排列 (12)。

Z₃ = {0,1,2}带有模3加法；群元素0对应于恒等排列e，群元素1对应于排列 (123)，而群元素2对应于排列 (132)。比如1 + 1 = 2对应于 (123)(123)=(132)。

Z₄ = {0,1,2,3}带有模4加法；它的元素对应于e, (1234), (13)(24), (1432)。

克莱因四元群{e, a, b, c}的元素对应于e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S₃（6阶二面体群）是三个对象的所有排列的群，但也是6个群元素的置换群：

1. ^ Burnside, William, Theory of Groups of Finite Order 2, Cambridge, 1911 
2. ^ Jordan, Camille, Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars, 1870 
3. ^ Nummela, Eric, Cayley's Theorem for Topological Groups, American Mathematical Monthly, 1980, 87 (3): 202–203 
4. ^ Cayley, Arthur, On the theory of groups as depending on the symbolic equation θⁿ=1, Phil. Mag., 1854, 7 (4): 40–47 

• 米田引理