希尔伯特变换

${\displaystyle u}$  的希尔伯特变换可以认为是 ${\displaystyle u(t)}$  与函数 ${\displaystyle h(t)={\frac {1}{\pi t}}:=\delta (jt)}$  的卷积。由于 ${\displaystyle h(t)}$  是不可积的（英语：Integrable system），定义卷积的积分不收敛。因而希尔伯特变换是使用柯西主值（这里记为${\displaystyle p.v.}$ ）定义的。准确说来，函数（或信号） ${\displaystyle u(t)}$  的希尔伯特变换是：

${\displaystyle H(u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )h(t-\tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\ \operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau }$ 

假设此积分作为主值存在。这就是 u 与缓增分布 p.v. 1/πt 的卷积（由于Schwartz (1950)；参见Pandey (1996，Chapter 3)）。另外，通过改变变量，主值积分可以显式地（Zygmund 1968，§XVI.1）写为：

${\displaystyle H(u)(t)={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{2\tau }}\,d\tau .}$ 

若希尔伯特变换接连用在函数 u 上两次，结果就是负 u：

${\displaystyle H(H(u))(t)=u(-t)}$ 

假设定义两次迭代的积分都收敛。特别地，逆变换是 −H。可以通过考虑 u(t) 的傅里叶变换的希尔伯特变换效应看出这一事实（参见下面的与傅里叶变换的关系）。

对上半平面的解析函数，希尔伯特变换描述了边界值的实部与虚部之间的关系。也就是说，如果 f(z) 是在 Im z > 0 平面内的解析函数，而 u(t) = Re f(t + 0·i )，假设希尔伯特变换存在，则 Im f(t + 0·i ) = H(u)(t) 取决于一个相加性常数。

频率响应

希尔伯特变换之频率响应由傅里叶变换给出：

${\displaystyle H(\omega )=(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\cdot {\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\,}$   

其中

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是傅里叶变换，
• i (有时写作j )是虚数单位，
• ${\displaystyle \omega \,}$ 是角频率，以及
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )={\begin{cases}\ \ 1,&{\mbox{for }}\omega >0,\\\ \ 0,&{\mbox{for }}\omega =0,\\-1,&{\mbox{for }}\omega <0,\end{cases}}}$ 

即为符号函数。

既然：

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )=H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )}$ ,

希尔伯特变换会将负频率成分${\displaystyle s(t)\,}$ 偏移+90°，而正频率成分偏移−90°。

反（逆）希尔伯特变换

我们也注意到：${\displaystyle H^{2}(\omega )=1^{-}\,}$ 。因此将上面方程式乘上${\displaystyle -H(\omega )\,}$ ，可得到：

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )=-H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )}$ 

从中，可以看出反（逆）希尔伯特变换

${\displaystyle s(t)=(h*h*h*{\widehat {s}})(t)={\mathcal {H}}^{3}\{{\widehat {s}}\}(t).\,}$ 

Notes

1. ^ Some authors (e.g., Bracewell) use our −H as their definition of the forward transform. A consequence is that the right column of this table would be negated.
2. ^ ^{2.0 2.1} The Hilbert transform of the sin and cos functions can be defined in a distributional sense, if there is a concern that the integral defining them is otherwise conditionally convergent. In the periodic setting this result holds without any difficulty.

常数之希尔伯特变换为零

边界

若 1<p<∞，则 L^p(R)之希尔伯特变换为一有界算子，表示存在一常数C_p使得

${\displaystyle \|Hu\|_{p}\leq C_{p}\|u\|_{p}}$ 

对所有 u∈L^p(R)。这个定理由Riesz (1928，VII)所推得；请一并参见Titchmarsh (1948，Theorem 101)。 最佳常数C_p可由下列算式得到:

${\displaystyle C_{p}={\begin{cases}\tan {\frac {\pi }{2p}}&{\text{for }}1<p\leq 2\\\cot {\frac {\pi }{2p}}&{\text{for }}2<p<\infty \end{cases}}}$ 

这个结果由（Pichorides 1972）所推得；请一并参见Grafakos (2004，Remark 4.1.8)。上述最佳常数计算方式应用在周期性希尔伯特变换一样成立。

希尔伯特变换的边界指的是 L^p(R) 对称级数运算子对于在 L^p(R) 之中 f 的收敛

${\displaystyle S_{R}f=\int _{-R}^{R}{\hat {f}}({\xi })e^{2\pi ix\xi }\,d\xi }$ 

请参见（Duoandikoetxea 2000，p.59）。

反自伴性

希尔伯特变换为一反自伴算子，连结 L^p(R) 与其对偶空间 L^q(R)，其中 p 和 q 为 赫尔德共轭且 1 < p,q < ∞. 以符号表示

${\displaystyle \langle Hu,v\rangle =\langle u,-Hv\rangle }$ 

对 u ∈ L^p(R) 且 v ∈ L^q(R) （Titchmarsh 1948，Theorem 102）.

逆变换

希尔伯特变换为一反-对合 （Titchmarsh 1948，p.120），意即

${\displaystyle H(H(u))=-u}$ 

假定每一变换皆完整定义过。由于 H 保存了 L^p(R)空间，这特别代表希尔伯特变换在 L^p(R) 上是可逆的，且

${\displaystyle H^{-1}=-H}$ 

微分

正式上，一个式子其希尔伯特变换的微分即为其微分的希尔伯特变换，意即这两者是可以交换的线性算子

${\displaystyle H\left({\frac {du}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}H(u)}$ 

此一特性亦可迭代

${\displaystyle H\left({\frac {d^{k}u}{dt^{k}}}\right)={\frac {d^{k}}{dt^{k}}}H(u)}$ 

给定 u 以及其前k次微分皆属于L^p(R) （Pandey 1996，§3.3）空间，此项论述为严格成立。在频域上可以轻易验证这件事情，由于微分在频域上即为与 ω 之乘积。

卷积

希尔伯特变换可表示为与一缓增分布之卷积 （Duistermaat & Kolk 2010，p.211）

${\displaystyle h(t)={\text{p.v. }}{\frac {1}{\pi t}}}$ 

因此可如此表示

${\displaystyle H(u)=h*u}$ 

然而，事前此特性可能只有对紧支撑之分布 u定义。由于紧支撑函数在 L^p 上是稠密的，因此此项特性可能严格成立。另一角度来看，也可使用 h(t) 其微分之特性来证明

${\displaystyle H(u)(t)={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{\pi }}(u*\log |\cdot |)(t)\right)}$ 

在大部分的用途，希尔伯特变换可被视为是一卷积。举例而言，卷积与希尔伯特变换具备下列可交换的特性

${\displaystyle H(u*v)=H(u)*v=u*H(v)}$ 

若 u 和 v 为紧支撑分布，则此项论述严格成立，在这个状况下

${\displaystyle h*(u*v)=(h*u)*v=u*(h*v)}$ 

不变性

希尔伯特变换在空间 L²(R) 上有下列特性

• 可与算子 T_aƒ(x) = ƒ(x + a) 交换，对所有实数 a
• 可与算子 M_λƒ(x) = ƒ(λx) 交换，对所有 λ > 0
• 可与镜射 Rƒ(x) = ƒ(−x) 反交换

实际上，有更大一部分的算子可与希尔伯特变换交换。群组 SL(2,R) 由幺正算符 U_g 可在空间 L²(R) 上由以下式子表示

${\displaystyle \displaystyle {U_{g}^{-1}f(x)=(cx+d)^{-1}f\left({ax+b \over cx+d}\right),\,\,\,g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}}$ 

注意：有些作者，例如Bracewell，将我们的${\displaystyle -{\mathcal {H}}}$ 当作其正变换的定义。这样的结果就是下表右行要乘上一个负号。

对于一离散函数 u[n]，以及其 离散傅里叶变换 函数 U(ω)，可推得其希尔伯特变换为:

${\displaystyle H(u)[n]=\scriptstyle {DTFT}^{-1}\displaystyle \{U(\omega )\cdot \sigma _{H}(\omega )\}}$ 

其中

${\displaystyle \sigma _{H}(\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{cases}e^{+i\pi /2},&-\pi <\omega <0\\e^{-i\pi /2},&0<\omega <\pi \\0,&\omega =-\pi ,0,\pi \end{cases}}}$ 

此外，根据卷积定律，另一个相等的方程式为:

${\displaystyle H(u)[n]=u[n]*h[n]}$ 

其中

${\displaystyle h[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \scriptstyle {DTFT}^{-1}{\big \{}\displaystyle \sigma _{H}(\omega ){\big \}}={\begin{cases}0,&{\mbox{for }}n{\mbox{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}}&{\mbox{for }}n{\mbox{ odd}}\end{cases}}}$ 

当卷积经由数值运算后，一FIR 近似将取代h[n]，如 图 1所示，可以见到频率响应在通带之两端(0与奈奎斯特频率)的陡降，形成一带通滤波器。其中高频部分可借由一FIR滤波器回复，如 图 2所示。然而实际上，一个经过适当采样的 u[n] 串行在高频部分已经不具有可用的分量。当冲激响应持续越久，低频部分也可以被回复。

用FIR近似h[n]的时候，交叠储存法是一个对于很长的u[n] 串行做卷积运算的有效方法。有时候阵列FFT{h[n]}会被σ_H(ω)相对应之采样串行所取代。如此将会有与周期叠加函数做卷积之效果:

${\displaystyle h_{N}[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN]}$ 

图 3比较了h_N[n]之半周期与一相同长度分量之h[n]。两者之间之差异与两者之长度皆不短于区段长度(N)之现象为失真的来源，且失真可经由增加区段长度与交叠参数来有效减少。

MATLAB中有一函数 hilbert(u,N)，此函数会回传一复数串行，其中虚部串行为 u[n]之离散希尔伯特变换近似，实部串行为原本输入之串行，所以这样的复数输出等于是 u[n]的分析信号。与前述类似， hilbert(u, N) 只使用来自 sgn(ω)分布的采样，因此是与 h_N[n] 的卷积。如前段所述，失真可借由选择比实际之u[n]串行更大的N与舍弃适当数量的输出采样来有效减少。图 4为这种失真的一个例子。

• 卷积
• 希尔伯特-黄变换

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