调和共轭

在数学中，调和共轭（Harmonic conjugate）是针对函数的概念。定义在开集${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$中的函数${\displaystyle u(x,\,y)}$，另一个函数${\displaystyle v(x,\,y)}$为其共轭函数的充分必要条件是${\displaystyle u(x,\,y)}$和${\displaystyle v(x,\,y)}$需要是全纯函数${\displaystyle f(z)}$（${\displaystyle z:=x+iy\in \Omega }$）的实部及虚部。

因此，若${\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}$在${\displaystyle \Omega }$中为全纯函数，${\displaystyle v}$就为${\displaystyle u}$的共轭函数。而${\displaystyle v}$和${\displaystyle u}$也是${\displaystyle \Omega }$中的调和函数。

在${\displaystyle \Omega }$区间内，${\displaystyle v}$是${\displaystyle u}$共轭函数的充分必要条件是${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$满足柯西－黎曼方程。

     ${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}$

    ${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}$