多格骨牌

多格骨牌（Polyomino），又称多连块、多连方、多方块或多连方块，是由全等正方形连成的图形，包括四格骨牌、五格骨牌、六格骨牌等，n格骨牌的个数为（镜射或旋转视作同一种）：

1, 1, 1, 2, 5, 12, 35, 108, 369, 1285, 4655, 17073, 63600, 238591, 901971, 3426576, 13079255, 50107909, 192622052, 742624232, 2870671950, ... （OEIS数列A000105）

除了n=0, 1, 2的显然易见的条件以外，只有n=5的时候才能用所有的n格骨牌填满一个长方形（见五格骨牌#长方形填充），n=3的情形显然无解，对n=4和n=6无解的证明需要使用肢解国际象棋盘问题的概念，而时，n格骨牌中有些骨牌的中间有空洞，因此也无解。

12个五格骨牌形成一个8×8平方，删除中间的2x2平方
35个六格骨牌（两面），不考虑对称相同则有60个片面骨牌。[1] 不同颜色代表不同对称性类型。
94个六格骨牌的密铺

列表

 
7种片面四格骨牌（  = 4）
 
12种両面五格骨牌（  = 5）。每个骨牌使用一个拉丁字母的字母。

多格骨牌有三种，以对称分类：

  1. 自由（两面）骨牌（刚体）：平移、转动、反射、Glide reflection（英语：Glide reflection）；可以包括洞以及单连通（无洞）的骨牌
  2. 一片面：平移、转动（不可反射）
  3. 固定（有向）：平移（不可转动、不可反射）
  名称 两面（自由）[2] 片面（单边）[3] 有向（固定）[4]
1 一格骨牌 1 1 1
2 二格骨牌 1 1 2
3 三格骨牌 2 2 6
4 四格骨牌 5 7 19
5 五格骨牌 12 18 63
6 六格骨牌 35 60 216
7 七格骨牌 108 196 760
8 八格骨牌 369 704 2725
9 九格骨牌 1285 2500 9910
10 十格骨牌 4655 9189 36446
11 十一格骨牌 17073 33896 135268
12 十二格骨牌 63600 126759 505861
13 十三格骨牌 238591 476270 1903890
14 十四格骨牌 901971 1802312 7204874
15 十五格骨牌 3426576 6849777 27394666

计算算法

渐近分析

若A(n)是自由n格骨牌的总数，则有猜想说明

 

其中 。但是这个是未解决的问题，缺乏证明。[7]

但是有证明表示A为指数增长[8][9]（ ）

 

密铺

这些问题有些是NP完全的，或与递归集合有关。

平面

任何少于或等于六格的骨牌都可以铺满整个平面，因为它们都满足康威准则，而在全部108种七格骨牌中，有101种满足康威准则，有104种可以铺满整个平面，另外4种（包括唯一一个中间有洞的那种）无法铺满整个平面，至于369种八格骨牌则有320种满足康威准则，有343种可以铺满整个平面；1285种九格骨牌中则有960种满足康威准则，有1050种可以铺满整个平面。

长方形

 
L骨牌有次数2

若需要至少n个多格骨牌P覆盖任何长方形（或矩形的格子），则n是P的次数（order）。若一个多格骨牌不可以覆盖（如Z形的四格骨牌），则其次数是未定义的。[11][1][12]

 
可以使用11个六格骨牌密铺长方形

L形骨牌有次数2。[13]

次数 的骨牌存在（n是整数）。[12]

次数3的骨牌不存在。[14][12]

未解决的数学问题：奇数次数的多格骨牌存在吗？  

可不可以使用5、7或9个骨牌密铺一个长方形这个问题仍未解答。有次数2的骨牌P，可以使用11个P覆盖一个更大的长方形。[15][1][12]

更大奇数次数的骨牌存在。[16][17]

截至2020年，有两个未解决的问题：

  • 奇数次数的多格骨牌存在吗？
  • 若可以用n个骨牌密铺一个长方形，且n是奇数，最小的n为何？现在已知n最多为11。
未解决的数学问题：若可以用n个骨牌密铺一个长方形，且n是奇数，最小的n为何？现在已知n最多为11。  

谜题和游戏

最小面积

若可以用骨牌A覆盖每个n格骨牌，则A是共同超形式（common superform、CS）。若A是共同超形式中面积最小的那个，则A是最小共同超形式（minimal common superform、MCS）。比如，五格骨牌的MCS是下面两个九格骨牌。无论P是哪一个五格骨牌，P都可以放在这两个骨牌里。[1][12][18]

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参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Golomb, Golomb. Polyominoes. 1975. 
  2. ^ （OEIS数列A000105）
  3. ^ （OEIS数列A000988）
  4. ^ （OEIS数列A001168）
  5. ^ Jensen, Iwan. Enumerations of Lattice Animals and Trees. Journal of Statistical Physics. 2001, 102 (3/4): 865–881. doi:10.1023/A:1004855020556. 
  6. ^ Conway, A. Enumerating 2D percolation series by the finite-lattice method: theory. Journal of Physics A: Mathematical and General. 1995-01-21, 28 (2): 335–349. ISSN 0305-4470. doi:10.1088/0305-4470/28/2/011. 
  7. ^ Jensen, Iwan; Guttmann, Anthony J. Statistics of lattice animals (polyominoes) and polygons. Journal of Physics A: Mathematical and General. 2000-07-28, 33 (29): L257–L263. ISSN 0305-4470. doi:10.1088/0305-4470/33/29/102. 
  8. ^ Barequet Gill, Rote Günter; ShalahMira. λ > 4: an improved lower bound on the growth constant of polyominoes. Communications of the ACM. 2016-06-24 [2020-02-15]. doi:10.1145/2851485. （原始内容存档于2020-06-30） （英语）.  Authors list列表缺少|last2= (帮助)
  9. ^ Klarner, D. A.; Rivest, R. L. A Procedure for Improving the Upper Bound for the Number of n -Ominoes. Canadian Journal of Mathematics. 1973-06, 25 (3): 585–602. ISSN 0008-414X. doi:10.4153/CJM-1973-060-4 （英语）. 
  10. ^ Golomb, Solomon W. Tiling with sets of polyominoes. Journal of Combinatorial Theory. 1970-07, 9 (1): 60–71 [2020-02-15]. doi:10.1016/S0021-9800(70)80055-2. （原始内容存档于2021-02-26） （英语）. 
  11. ^ Tiling Rectangles With Polyominoes. www.eklhad.net. [2020-02-15]. （原始内容存档于2020-02-15）. 
  12. ^ 12.0 12.1 12.2 12.3 12.4 Golomb, Solomon W. (Solomon Wolf). Polyominoes : puzzles, patterns, problems, and packings. 2nd ed. Princeton, N.J.: Princeton University Press https://www.worldcat.org/oclc/29358809. 1994. ISBN 0-691-08573-0. OCLC 29358809.  缺少或|title=为空 (帮助)
  13. ^ Weisstein, Eric W. (编). L-Polyomino. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-02-15]. （原始内容存档于2015-07-26） （英语）. 
  14. ^ Stewart, I. N; Wormstein, A. Polyominoes of order 3 do not exist. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 1992-09-01, 61 (1): 130–136 [2020-02-15]. ISSN 0097-3165. doi:10.1016/0097-3165(92)90058-3. （原始内容存档于2020-01-12） （英语）. 
  15. ^ Primes of the P hexomino. www.cflmath.com. [2020-02-15]. （原始内容存档于2016-03-22）. 
  16. ^ Tiling Rectangles and Half Strips with Congruent Polyominoes. www.cflmath.com. [2020-02-15]. （原始内容存档于2020-01-15）. 
  17. ^ co.combinatorics - Cutting a rectangle into an odd number of congruent pieces. MathOverflow. [2020-02-15]. （原始内容存档于2020-02-15）. 
  18. ^ Polyomino Common Superforms. puzzlezapper.com. [2020-02-15]. （原始内容存档于2017-05-21）. 
  19. ^ Whittington, S. G.; Soteros, C. E. (1990)., Whittington, S. G.; Soteros, C. E. (1990). "Lattice Animals: Rigorous Results and Wild Guesses".. 
  20. ^ In Grimmett, G.; Welsh, D. (eds.)., In Grimmett, G.; Welsh, D. (eds.). Disorder in Physical Systems. Oxford University Press..