渐近分析渐近分析（asymptotic analysis、asymptotics），在数学分析中是一种描述函数在极限附近的行为的方法。有多个科学领域应用此方法。例子如下： 在计算机科学中，算法分析考虑给定算法在输入非常大的数据集时候的性能。 当实体系统的规模变得非常大的时候，分析它的行为。最简单的例子如下：考虑一个函数 f ( n ) {\displaystyle f(n)} ，我们需要了解当 n {\displaystyle n} 变得非常大的时候 f ( n ) {\displaystyle f(n)} 的性质。 令 f ( n ) = n 2 + 3 n {\displaystyle f(n)=n^{2}+3n} ，在 n {\displaystyle n} 特别大的时候，第二项 3 n {\displaystyle 3n} 比起第一项 n 2 {\displaystyle n^{2}} 要小很多。 于是对于这个函数，有如下断言：“ f ( n ) {\displaystyle f(n)} 在 n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } 的情况下与 n 2 {\displaystyle n^{2}} 渐近等价”，记作 f ( n ) ∼ n 2 {\displaystyle f(n)\sim n^{2}} 。 目录 1 渐近等价 2 渐近展开 3 相关条目 4 参考注释 5 外部链接 渐近等价 定义：给定关于自然数 n {\displaystyle n} 的复函数 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} ， 命题 f ( n ) ∼ g ( n ) ( n → ∞ ) {\displaystyle f(n)\sim g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )} 表明（使用小o符号） f ( n ) = g ( n ) + o ( g ( n ) ) ( n → ∞ ) {\displaystyle f(n)=g(n)+o(g(n)){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )} 或（等价记法） f ( n ) = ( 1 + o ( 1 ) ) g ( n ) ( n → ∞ ) {\displaystyle f(n)=(1+o(1))g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )} 。 这说明，对所有正常数 ϵ {\displaystyle \epsilon } ，存在常量 N {\displaystyle N} ，使得对于所有的 n ⩾ N {\displaystyle n\geqslant N} 有 | f ( n ) − g ( n ) | ⩽ ϵ | g ( n ) | {\displaystyle |f(n)-g(n)|\leqslant \epsilon |g(n)|} 。 当 g ( n ) {\displaystyle g(n)} 不是0或者趋于无穷大时，该命题可等价记作 lim n → ∞ f ( n ) g ( n ) = 1 {\displaystyle \lim _{n{\rightarrow }\infty }{\frac {f(n)}{g(n)}}=1} 。 渐近等价是一个关于 n {\displaystyle n} 的函数的集合上的等价关系。非正式地，函数 f {\displaystyle f} 的等价类包含所有在极限情况下近似等于 f {\displaystyle f} 的函数 g {\displaystyle g} 。 渐近展开 主条目：渐近展开 函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的渐近展开是它的一种级数展开。这种展开的部分和未必收敛，但每一个部分和都表示 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的一个渐近表示式。例子：斯特灵公式。 相关条目 渐近运算复杂度（英语：Asymptotic computational complexity） 渐近理论（英语：Asymptotic theory）参考注释 外部链接 J. P. Boyd, "The Devil's Invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series", Acta Applicandae Mathematicae, 56: 1-98 (1999). Preprint （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
