X²+1素数

在1912年的国际数学家大会上，爱德蒙·兰道就素数理论的发展和黎曼ζ函数作演说，当中他提到有四个关于素数的问题，是“以目前的科学状况无法攻克”的。第四个问题便是：“函数u²+1在u取整数值时是否给出了无穷多个素数？”^[2]

更一般地，设f(x)=ax^2+bx+c为整系数二次函数。可以证明，若f(x)能取无穷多次的素数值，那么a, b, c须符合以下条件：

1. a, b, c的最大公约数为1
2. a+b和c不能都是偶数
3. b²-4ac不是完全平方数

一个广义化的猜想便是，若a为正数且a, b, c符合上述3个条件，那么f(x)便能取无穷多次的素数值（见布尼亚科夫斯基猜想）。^[3]

1923年，英国数学家哈代和李特尔伍德猜测^[2]：

${\displaystyle \#\left(\{n:n=k^{2}+1\,{\text{and}}\,n<x\}\cap \mathbb {P} \right)\sim \prod _{p>2 \atop {p\in \mathbb {P} }}\left[1-{\frac {1}{p-1}}\left({\frac {-1}{p}}\right)\right]{\frac {\sqrt {x}}{\ln x}}}$ 

根据弗里德兰德-伊万涅茨定理（英语：Friedlander–Iwaniec theorem），存在无穷多个形如${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ 的素数。

在1978年，亨里克·伊万涅茨（英语：Henryk Iwaniec）证明了存在无穷多个x，使得${\displaystyle x^{2}+1}$ 至多是两个素数的积。

由于问题的困难，人们开始关注X²+1合数，企图从X²+1合数的蛛丝马迹中寻找X²+1素数。^{[来源请求]}发现许许多多X²+1合数有平方因子

例如：18²+1=325=5²×13；32²+1=1025=5²×41；38²+1=1445=5×17²；68²+1=4625=5³×37；70²+1=4901=13²×29；....。

这是一个佩尔方程形式：

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=\pm 1}$ 

38²-5×17²=-1；70²-29×13²=-1。

• Kaisa Matomäki, Approaches to primes of the form aq² + 1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Department of Mathematics, University of London, 2008. section 1.
• Problems & Puzzles: Conjectures, Conjecture 5: Are there infinitely many primes of the form n²+1?. primepuzzles.net. [2012-04-20]. （原始内容存档于2018-10-19）. 
• Stephan Baier, Liangyi Zhao. ON PRIMES REPRESENTED BY QUADRATIC POLYNOMIALS (PDF). Anatomy of Integers, CRM Proc. & Lecture Notes: 166 – 169. ^{[永久失效链接]}

• 素数判定法则
• 兰道问题
• 布尼亚科夫斯基猜想
• 欣策尔假设H（英语：Schinzel's hypothesis H）