路径积分表述

哈密顿算符在量子力学中的意义

量子力学中，哈密顿算符${\displaystyle H}$ 生成时间演化算符${\displaystyle U(t_{b},t_{a})}$ ：

${\displaystyle U(t_{b},t_{a})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}(t_{b}-t_{a})H}.}$ 

一个量子粒子在时刻${\displaystyle t_{a}}$ 到${\displaystyle t_{b}}$ 间从位置${\displaystyle x_{a}}$ 运动到${\displaystyle x_{b}}$ 的量子概率幅是：

${\displaystyle iG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})\equiv \left\langle x_{b}\right|U(t_{b},t_{a})\left|x_{a}\right\rangle .}$ 

因为${\displaystyle U(t_{b},t_{a})}$ 是很复杂的算符函数，直接用以上定义计算${\displaystyle iG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})}$ 非常困难。

时间演化算符符合

${\displaystyle U(t_{b},t_{a})=U(t_{b},t)U(t,t_{a}),}$ 

因此量子幅符合

${\displaystyle iG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})=\int dx\ iG(x_{b},t_{b};x,t)iG(x,t;x_{a},t_{a})}$ 。

右式被积项的意义为从${\displaystyle (t_{a},x_{a})}$ 出发，在中途时刻${\displaystyle t}$ 先穿过位置${\displaystyle x}$ ，再到达${\displaystyle (t_{b},x_{b})}$ 的路径的总量子幅，此量子幅是两段路径量子幅的积；而左式从${\displaystyle (t_{a},x_{a})}$ 到${\displaystyle (t_{b},x_{b})}$ 的量子幅，等于右式所有这种路径的和（积分）。

时间切片

假设粒子在时刻${\displaystyle t_{a}}$ 到${\displaystyle t_{b}}$ 间从位置${\displaystyle x_{a}}$ 运动到${\displaystyle x_{b}}$ 。那可以把之间的时间平均分割成个别的时间区间：${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=t_{b}}$ 。每一段的时间是${\displaystyle \Delta ={\frac {t_{b}-t_{a}}{n}}}$ 。 在时刻${\displaystyle t_{j-1}}$ 和${\displaystyle t_{j}}$ 间粒子的量子幅是：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x_{j}\left|e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}\right|x_{j-1}\right\rangle &=\int dp_{j}\langle x_{j}|p_{j}\rangle \left\langle p_{j}\left|e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}\right|x_{j-1}\right\rangle \end{aligned}}}$ 

因为${\displaystyle {\hat {p}}}$ 和${\displaystyle {\hat {x}}}$ 是互不交换的算符，所以必须运用它们的交换子关系：${\displaystyle [{\hat {p}},{\hat {x}}]=i\hbar }$ 把${\displaystyle H({\hat {p}},{\hat {x}})}$ 修成所有的${\displaystyle {\hat {p}}}$ 在${\displaystyle {\hat {x}}}$ 左方的正常顺序：

${\displaystyle e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}=:e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}:+O(\Delta ^{2})}$ 

做时间切片的作用是：当取切片数趋向无限大的极限时（${\displaystyle \Delta \rightarrow 0}$ ），原本非正常顺序的哈密顿算符可以以正常顺序版代替。在正常顺序算符下，${\displaystyle {\hat {p}}}$ 和${\displaystyle {\hat {x}}}$ 从算符简化成普通复数。 因此

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x_{j}\left|e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}\right|x_{j-1}\right\rangle &=\int {\frac {dp_{j}}{2\pi \hbar }}e^{i{\frac {p_{j}}{\hbar }}(x_{j}-x_{j-1})}\,e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H(p_{j},x_{j-1})}\\&=\int {\frac {dp_{j}}{2\pi \hbar }}e^{i{\frac {\Delta }{\hbar }}\left(p_{j}{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\Delta }}-H(p_{j},x_{j-1})\right)}\\\end{aligned}}}$ 

把所有连接${\displaystyle (t_{a},x_{a})}$ 和${\displaystyle (t_{b},x_{b})}$ 的路径相加得到的总量子幅是：

${\displaystyle {\begin{aligned}iG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})&=\int dx_{1}\cdots dx_{n-1}\prod _{i=1}^{n-1}dp_{i}\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\sum _{j=1}^{n-1}\Delta \,L\left(t_{j},{\frac {x_{j}+x_{j-1}}{2}},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\Delta }}\right)\right]\\&=\int {\mathcal {D}}\left[x(t)\right]e^{{\frac {i}{\hbar }}S[x(t)]},\end{aligned}}}$ 

其中${\displaystyle S}$ 是路径${\displaystyle x(t)}$ 的作用量，拉格朗日量${\displaystyle L(t,x,{\dot {x}})}$ 的时间积分：

${\displaystyle S=\int L(t,x,{\dot {x}})dt.}$ 

自由粒子

自由粒子的作用量（${\displaystyle m=1}$ ，${\displaystyle \hbar =1}$ ）为：

${\displaystyle S=\int {\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}dt,}$ 

可以插入路径积分里做直接计算。

暂时把指数函数内i去掉可容许比较简易的理解计算，以后可以用威克转动回到原式。去掉${\displaystyle i}$ 后，有：

${\displaystyle G(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{-\int _{0}^{T}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}dt}{\mathcal {D}}x=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\prod _{t}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {(x(t+\epsilon )-x(t)}{\epsilon }}\right)^{2}\epsilon }{\mathcal {D}}x,}$ 

其中${\displaystyle {\mathcal {D}}x}$ 是以上时间切成有限片的积分。连乘里，每一项都是平均值为${\displaystyle x(t)}$ ，方差为${\displaystyle \epsilon }$ 的高斯函数。故多重积分是相邻时间高斯函数${\displaystyle G_{\epsilon }}$ 的卷积：

${\displaystyle G(x-y;T)=G_{\epsilon }*G_{\epsilon }*G_{\epsilon }*\cdots *G_{\epsilon }(x-y).}$ 

这里面共包含${\displaystyle T/\epsilon }$ 个卷积。傅里叶变换下，卷积变成普通乘积：

${\displaystyle {\tilde {G}}(p;T)={\tilde {G}}_{\epsilon }(p)^{T/\epsilon }.}$ 

而高斯函数的傅里叶变换也是一个高斯函数：

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\epsilon }(p)=e^{-\epsilon {\frac {p^{2}}{2}}},}$ 

因此

${\displaystyle {\tilde {G}}(p;T)=e^{-T{\frac {p^{2}}{2}}}.}$ 

反傅里叶变换可以得到实空间量子幅：

${\displaystyle G(x-y;T)\propto e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{2T}}}.}$ 

时间切片方法原则上不能决定以上比例系数，但以随机运动概率来理解，可得到以下正规条件：

${\displaystyle \int G(x-y;T)dy=1,}$ 

从这条件可得到扩散方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}G(x;t)={\frac {\nabla ^{2}}{2}}G.}$ 

回到振荡轨道，即恢复分子里的原本的${\displaystyle i}$ 。这可同样得到一系列高斯函数的卷积。但这些高斯积分是严重振荡积分而要小心计算。一个普遍方法是让时间片${\displaystyle \epsilon }$ 带一个小虚部。这等同于以威克转动在实时间和虚时间间转换。在这些处理下，可得到传播核：

${\displaystyle G(x-y;T)\propto e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2T}}.}$ 

运用和之前一样的正规条件，重新得到自由粒子的薛定谔方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}G(x;t)={\frac {i\nabla ^{2}}{2}}G.}$ 

这意味着任何${\displaystyle G}$ 的线性组合也符合薛定谔方程，包括以下定义的波函数：

${\displaystyle \varphi _{t}(x)=\int \varphi _{0}(y)G(x-y;t)dy,}$ 

和${\displaystyle G}$ 一样服从薛定谔方程：

${\displaystyle i{\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}\varphi _{t}(x).}$ 

配分函数成为泛函积分：

${\displaystyle Z=\int D\phi \ \exp(iS(\phi ))}$ 

费米积分（英语：Berezin integral）、格拉斯曼数

• 费曼－卡茨公式
• 配分函数
• 泛函
• 高斯积分