高斯函数 关于高斯取整函数，请见“高斯符号”。 高斯函数是形式为 f ( x ) = a e − ( x − b ) 2 / 2 c 2 {\displaystyle f(x)=ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}} 的函数。其中a、b与 c为实数常数，且a > 0. c2 = 2的高斯函数是傅立叶变换的特征函数。这就意味着高斯函数的傅立叶变换不仅仅是另一个高斯函数，而且是进行傅立叶变换的函数的标量倍。[注 1] 用期望值及方差作为参数表示的高斯曲线（参见正态分布） 目录 1 半峰全宽与积分 2 应用 3 注释 4 参见 半峰全宽与积分 联立高斯积分 ∫ − ∞ ∞ a e − ( x − b ) 2 / ( 2 c 2 ) d x = a c ⋅ 2 π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.} 和半峰全宽， F W H M = 2 2 ln 2 σ ≈ 2.355 σ . {\displaystyle \mathrm {FWHM} =2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 2.355\;\sigma .} 解得 ∫ − ∞ ∞ a e − ( x − b ) 2 / ( 2 c 2 ) d x = a ⋅ 2 π F W H M / 2.355 ≈ 1.064 ⋅ a ⋅ F W H M {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=a\cdot {\sqrt {2\pi }}FWHM/2.355\approx 1.064\cdot a\cdot FWHM} 应用 高斯函数的不定积分是误差函数。在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都有高斯函数的身影，这方面的例子包括： 在统计学与概率论中，高斯函数是正态分布的密度函数，根据中心极限定理它是复杂总和的有限概率分布。 高斯函数是量子谐振子基态的波函数。 计算化学中所用的分子轨道是名为高斯轨道的高斯函数的线性组合（参见量子化学中的基组）。 在数学领域，高斯函数在埃尔米特多项式的定义中起着重要作用。 高斯函数与量子场论中的真空态相关。 在光学以及微波系统中有高斯波束的应用。 高斯函数在图像处理中用作预平滑核（参见尺度空间表示）。注释 ^ 高斯函数属于初等函数，但它没有初等不定积分。但是仍然可以在整个实数轴上计算它的广义积分（参见高斯积分)： ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x = π a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}} 。 参见 劳伦兹函数 正态分布 洛仑兹变换
