四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五边形

四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五边形是目前已知最大奇数可作图多边形。其内角和角度为773,094,112,740度,对角线则有9,223,372,026,117,357,570条。

正四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五边形
类型正多边形
对偶正四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五边形(本身)
4294967295
顶点4294967295
对角线9223372026117357570
施莱夫利符号{4294967295}
考克斯特图英语Coxeter diagramnode_1 4 2x 9 4 9 6 7 2x 9 5 node 
对称群二面体群 (D4294967295), order 2×4294967295
面积
内角 o
179.99999991618°
内角和773094112740°
特性圆内接多边形等边多边形等角多边形等边图形

特别地,正4294967295边形可以尺规作图(仅用直尺和圆规来作图)来完成。可以用尺规作图的多边形有无数个,只要是某些奇数的2次方倍的边数的多边形都可以尺规作图,然而奇数边数多边形已知能够尺规作图的边数只有31个,而正4294967295边形的边数是这些多边形当中最大的边数。这31个奇数边数可以可作图多边形的边数有: 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295⋯⋯(OEIS数列A045544

性质

正4294967295边形的边数非常的多,几乎无法使其和一个正圆形区分开来。正4294967295边形的中心角的角度非常小,只有:

 

半径为1的圆内接正4294967295边形面积为:

 

其与圆的面积非常接近,这个数值也与圆周率非常接近,其中的17个位数完全与圆周率相同。其一个边的边长为:

 

这个多边形几乎无法和圆形区分开来。举例来说,半径为1000千米的圆内接正4294967295边形,其边长略低于1.5毫米。 此外,假设地球是一个半径为6378千米的完美球体,并考虑内接于大圆(例如赤道)的正4294967295边形,则其边长略低于1厘米。

可作图性

4294967295是

 

它的素数分解是

 

是所有已知费马素数的乘积。卡尔·弗里德里希·高斯澄清说,正n边多边形的可构造性的充分必要条件是费马素数的乘积与2的幂的乘积,即:

 为相异费马素数、 为非负整数)

因此,如果不存在大于65537的费马素数的猜想是正确的,那么正4294967295边形就是边数最多的可构造正奇数边数多边形。[1][2][3]

参考资料

  1. ^ Falko Lorenz, 2006, Algebra: Volume I: Fields and Galois Theory, p. 105. ISBN 9780387316086.
  2. ^ Edward A. Bender, S. Gill Williamson, 2005, A Short Course in Discrete Mathematics, p. 43. ISBN 9780486439464.
  3. ^ John Horton Conway, Richard Guy, 1998, The Book of Numbers, p. 140. ISBN 9780387979939.

参考书籍