四边形

在几何学中，四边形是指有四条边和四个顶点的多边形，其内角和为360度。四边形有很多种，其中对称性最高的是正方形，其次是长方形或菱形，较低对称性的四边形如等腰梯形和筝形，对称轴只有一条。其他的四边形依照其类角的性质可以分成凸四边形和非凸四边形，其中凸四边形代表所有内角角度皆小于180度。非凸四边形可以再进一步分成凹四边形和复杂四边形，其中复杂四边形表示边自我相交的四边形。

四边形
Six Quadrilaterals.svg
面积不同的四边形有不同的算法
见下文
内角（度）90 （正方形和长方形时)

简单四边形

四边形可以分成简单四边形和复杂四边形两大类，简单四边形表示边没有交错的四边形，复杂四边形表示边有交错的四边形。

凸四边形

凸四边形是指所有角都比平角小的四边形，且两条对角线都落在其内部。

  • 不规则凸四边形：是凸四边形中最大的子集，包含了所有的凸四边形，一般会用任意凸四边形称呼之。
  • 不平行四边形：没有任何边互相平行的四边形。这个四边形的名称在英式英文与美式英文中有不同的称呼，英式英文将之称为“irregular quadrilateral”，而北美英文（英语：North American English）则称为“trapezium”。
  • 梯形：只有一对边平行的四边形。这个四边形的名称在英式英文与美式英文中有不同的称呼，英式英文将之称为Trapezium，而北美英文（英语：North American English）则称为trapezoid。
  • 等腰梯形：一对对边平行、另外两边等长但不平行。等腰梯形是一种梯形，是一种拥有更高的对称性的梯形。
  • 三等边梯形：一对对边平行、另外两边和一底边等长的梯形。
  • 平行四边形：具有两对平行边的四边形或两对边平行的四边形。其等效条件是有两对边等长、两对角等角，或者是对角线彼此平分。正方形、长方形、斜方形和菱形都是平行四边形。
  • 菱形：主流文献上有两种定义。较粗疏的定义是四边相等，在这定义下，正方形是菱形的一种。另外一种定义较严谨，菱形是四边相等，但角不是直角[1]。在这定义下的正方形就不是菱形的一种。
  • 斜方形：对角相等且对边相等，但边不全相等且角不是直角的四边形[1]。换句话说，就是平行四边形中不是菱形的形状[2]。其英语名称为Rhomboid[3]，容易与菱形（英语：Rhombus）[4]混淆。
  • 矩形：四个角都是直角的四边形。其等效条件是对角线互相平分且等长。正方形和长方形是矩形的一种。
  • 长方形：角是直角，但四边不全相等的四边形[1]。
  • 正方形：四边相等且四个角是直角的四边形[1]。由于其四个角都等角，又凸四边形内角和为360度，因此其四个角都是直角。其等效条件是对边平行且等长，对角线互相垂直平分且等长。
  • 筝形，相邻边等长的四边形。其中一条对角线可以将之分割成两个全等的三角形，因此在这对角线两侧的对角会相等，这也意味着其对角线垂直。鹞形又称鸢形或筝形。

 

  • 圆内接四边形：含有外接圆的四边形，换句话说，这个四边形的四个顶点落在一个圆上。
  • 圆内接梯形：有一对平行边的圆内接四边形。
  • 圆外切四边形：含有内切圆的四边形，换句话说，这个四边形的四条边与一个圆相切。
  • 圆外切梯形（英语：Tangential trapezoid）：有一对平行边的圆外切四边形。
  • 双心四边形：内切圆在两对对边的切点的连线相互垂直，含有外接圆和内切圆。这个四边形的顶点落在一个圆上且对角和为180度。
  • 直角筝形（英语：Right kite）：有一对直角的筝形。正筝形是一种双心四边形。
  • 正轴四边形（英语：Orthodiagonal quadrilateral）：两对角线垂直的四边形。
  • 等对角线四边形（英语：Equidiagonal quadrilateral）：对角线等长的四边形[5]。
  • 旁心四边形（英语：Ex-tangential quadrilateral）：四条边向外延伸后能与一个圆心在四边形外的圆相切的四边形[6][7]。
  • 等长四边形：表示有一对边长度相等，且两者成60度角的四边形。
  • 瓦特四边形：一个对边等长的四边形[8]。
  • 二次四边形：是指四个顶点都落在正方形周界上的四边形[9]。
  • 直径四边形 ：是指有一条边是外接圆圆心的圆内接四边形[10]。

非凸四边形

简单四边形中的非凸四边形是指不是凸四边形的其他四边形。

  • 凹四边形：是指有至少一个角大于180度的四边形。
  • 镖形（或箭头形、凹筝形）：相邻边等长的凹四边形。

复杂四边形

 
反平行四边形是复杂四边形的一个例子

边自我相交的四边形称为复杂四边形、折四边形、交叉四边形、蝴蝶四边形或领结四边形。交叉四边形在两个相交边的四个内角（两个锐角和两个优角）内角和可达720度[11]。

  • 星形四边形（或四角星）：指边自相交的一种四边形，但只能是退化的多边形，即两个二角形的复合图形。
  • 折四边形：两对边相交的四边形。
  • 反平行四边形：两对边等长的折四边形。
  • 交叉矩形：有一对边平行且其对角线和平行的对边可以形成一个矩形的反平行四边形。
  • 交叉正方形：有一对边平行且交叉的对边互相垂直[12]。

分类

分类依据 根据对称的特性 根据四边长度： 根据角度大小： 根据边的情形： 根据顶点的情形：
种类
  • 一条对角线为对称轴：
    • 筝形
  • 对角线均为对称轴：
    • 菱形
  • 一条对称轴：
    • 等腰梯形、鹞形
  • 两条对称轴：
    • 矩形、菱形
  • 四条对称轴：
    • 正方形
  • 旋转对称重合两次：
    • 平行四边形
  • 旋转对称重合四次：
    • 正方形
  • 两对对边长度相等：
    • 平行四边形
  • 两对邻边长度相等：
    • 筝形
  • 四边长度相等：
    • 菱形、正方形
  • 两对对角相等：
    • 平行四边形
  • 两对相邻角相等：
    • 等腰梯形
  • 四角相等：
    • 矩形
  • 对角和等于 ：
    • 圆内接四边形
  • 一对对边平行：
    • 梯形
  • 两对对边平行：
    • 平行四边形
  • 四边可接圆形：
    • 圆外切四边形
  • 两对边长度和相等：
    • 圆外切四边形
  • 顶点都在一个圆上：
    • 圆内接四边形

面积

任意凸[13]四边形面积可以利用下列算式算出：[13]

 

其中 、 表示两对角线的长度， 是对角线的夹角[14] 在正轴四边形（如菱形、正方形或筝形），这个式子可以化简成：

 

其中由于 是90°，因此修正项 可以消掉。

若凸四边形的四边长度分别是 、 、 、 ，对角线长度为 、 ，对角线相交的角度为 ，其面积为：

 
 
 

若对角线相交的角度为 ，四边形的对边的关系：  

底下是一些针对特殊四边形的面积公式：

扭歪四边形

 
一种扭歪四边形。

扭歪四边形，又称不共面四边形，是指顶点并非完全共面的四边形。因为扭歪四边形不存在唯一确定的内部区域，故无法计算其面积。

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Euclid's Elements, Book I. mathcs.clarku.edu. [2017-10-21]. （原始内容存档于2017-09-18）. 
  2. ^ Archived copy (PDF). [2013-06-20]. （原始内容 (PDF)存档于2014-05-14）. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. (编). Rhomboid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (编). Rhombus. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  5. ^ Colebrooke, Henry-Thomas, Algebra, with arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara, John Murray: 58, 1817 
  6. ^ Radic, Mirko; Kaliman, Zoran and Kadum, Vladimir, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", Mathematical Communications, 12 (2007) pp. 33–52.
  7. ^ Bogomolny, Alexander. "Inscriptible and Exscriptible Quadrilaterals", Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. [2011-08-18]. （原始内容存档于2011-09-06）. 
  8. ^ G. Keady, P. Scales and S. Z. Németh, "Watt Linkages and Quadrilaterals", The Mathematical Gazette Vol. 88, No. 513 (Nov., 2004), pp. 475–492.
  9. ^ A. K. Jobbings, "Quadric Quadrilaterals", The Mathematical Gazette Vol. 81, No. 491 (Jul., 1997), pp. 220–224.
  10. ^ R. A. Beauregard, "Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides", College Mathematics Journal Vol. 40, No. 1 (Jan 2009), pp. 17-21.
  11. ^ Stars: A Second Look (PDF). [2016-08-25]. （原始内容 (PDF)存档于2016-03-03）. 
  12. ^ Quadrilaterals. technologyuk. [2016-08-25]. （原始内容存档于2017-07-06）. 
  13. ^ 13.0 13.1 Weisstein, Eric W. (编). Quadrilateral. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  14. ^ Harries, J. "Area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 86, July 2002, 310–311.

外部链接