婆罗摩笈多公式

${\displaystyle DB^{2}=p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,}$ 

代入${\displaystyle \cos C=-\cos A}$ （这是由于${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle C}$ 是互补角），并整理，得：

${\displaystyle 2\cos A(pq+rs)=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,}$ 

把这个等式代入面积的公式中，得：

${\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}$ 

${\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2},\,}$ 

它是${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ 的形式，因此可以写成${\displaystyle (a+b)(a-b)}$ 的形式：

${\displaystyle (2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})(2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2})\,}$ 

${\displaystyle =[(p+q)^{2}-(r-s)^{2}][(r+s)^{2}-(p-q)^{2}]\,}$ 

${\displaystyle =(p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p).\,}$ 

引入${\displaystyle T={\frac {p+q+r+s}{2}}}$ ，

${\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s).\,}$ 

两边开平方，得：

${\displaystyle {\mbox{Area}}={\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}}.}$ 

证毕。

若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，且外切于圆C，则其面积为：

${\displaystyle {\sqrt {abcd}}}$ 

证明

由于四边形内接于圆O，所以：

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$ 

其中p为半周长：

${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}$ 

又因为四边形外切圆C，所以：

${\displaystyle a+c=b+d}$ 

则：

${\displaystyle p-a={\frac {b+c+d-a}{2}}={\frac {a+c+c-a}{2}}=c}$ 

同理:

${\displaystyle p-b=d}$ ， ${\displaystyle p-c=a}$ ， ${\displaystyle p-d=b}$ 

综上：

${\displaystyle S={\sqrt {abcd}}}$ 

证毕。

布雷特施奈德公式