奇点解消

对于一个域 ${\displaystyle k}$  上的代数簇 ${\displaystyle X}$ ，若能找到一个完备非奇异代数簇与之双有理等价（换言之：有相同的函数域），则称 ${\displaystyle X}$  有弱奇点解消。在实践上常会要求更容易运用的条件：若存在非奇异代数簇 ${\displaystyle X'}$  及真双有理态射 ${\displaystyle X'\to X}$ ，使之在 ${\displaystyle X}$  的奇点集 ${\displaystyle \mathrm {Sing} (X)}$  之外为同构，则称 ${\displaystyle X}$  有奇点解消。真态射的条件意在排除平凡解，例如 ${\displaystyle X'=X\setminus \mathrm {Sing} (X)\hookrightarrow X}$ 。

一般而言，设 ${\displaystyle X\hookrightarrow W}$ ，其中 ${\displaystyle W}$  是非奇异代数簇，此时一个实用的概念是 ${\displaystyle X}$  在 ${\displaystyle W}$  中的强奇点解消：这是一个真双有理态射 ${\displaystyle f:W'\to W}$ ，满足下述条件：

1. ${\displaystyle W'\to W}$  由一系列对非奇异闭子簇的拉开合成，每一步取的闭子簇都横截已拉开的例外除数。
2. ${\displaystyle X}$  的严格变换 ${\displaystyle X'}$  是非奇异的，并与横截拉开的例外除数；于是限制态射 ${\displaystyle X'\to X}$  是 ${\displaystyle X}$  的奇点解消。
3. ${\displaystyle W'}$  的构造对平滑态射具函子性。
4. 态射 ${\displaystyle X'\to X}$  与 ${\displaystyle X}$  在 ${\displaystyle W}$  中的嵌入方式无关。

广中平祐证明了：当域 ${\displaystyle k}$  的特征为零，则存在满足前两个条件的强奇点解消。他的建构后经多位数学家改进，以满足全部四个条件。

代数曲线的奇点解消较容易，在19世纪已广为人知。证明方法不一：最常见的两种是相继拉开奇点，或取曲线的正规化。正规化消解的是所有余维度为一的奇点，因此仅适用于曲线。

复代数曲面的奇点解消先后由 Beppo Levi（1899年）、O. Chisini（1921年）与 G. Albanese（1924年）给出非正式的说明。第一个严谨证明由 Robert J. Walker 于1935年给出。对所有零特征域均成立的代数证明由扎里斯基于1939年给出。S. S. Abhyankar 证明正特征域上的情形（1956年）。所有二维优概形（包括所有算术曲面）的奇点解消由 Lipman 在1978年证出。

消解曲面奇点的通常办法是不断将曲面正规化（以消去余维为一的奇点）并拉开奇点（以改善余维为二的奇点，但是可能会增加新的余维一的奇点）。

对于三维情形，零特征域上首先由扎里斯基证明（1944年）；域特征超过 5 的情形由 S. S. Abhyankar 于1966年证明。

零特征域上任意维度的奇点消解首先由广中平祐于1964年证出。他证明可以借着相继对非奇异闭子流形作拉开以消去奇点，其证明中对维度作了相当复杂的数学归纳法。简化版的证明之后由许多数学家给出，包括 Bierstone 与 Milman（1997年），Encinas 与 Villamayor（1998年），Encinas 与 Hauser（ 2002年）、Cutkosky（2004年），Wlodarczyk（2005年）及 Kollar（2007年）。某些晚近证明的长度还不及广中平祐证明的十分之一，并简单到可以在研究所导论课程中给出。关于该定理的介绍，详阅文献中 Hauser 的著作（2003），历史讨论请见 Hauser（2000）。

A. J. de Jong 在1996年提出奇点解消的另种进路，这套进路被 Bogomolov 与 Pantev（1996年）及 Abramovich 与 de Jong（1997年）用于证明零特征域上的奇点解消。De Jong 的方法对正特征域上的代数簇给出较弱的结果，然而已足以替代奇点解消的许多角色。

De Jong 证明对任意域上的代数簇 ${\displaystyle X}$ ，存在满的真态射 ${\displaystyle X'\to X}$ ，使得 ${\displaystyle \dim X'=\dim X}$  且 ${\displaystyle X'}$  非奇异。这不一定是双有理等价，${\displaystyle X'}$  的函数域可能是有限扩张，故非奇点解消。De Jong 的想法是尝试将 ${\displaystyle X}$  表为一个较小空间 ${\displaystyle Y}$  上的纤维化映射，使得纤维均为曲线（为此可能需要修改 ${\displaystyle X}$ ），然后借着对维度作数学归纳法消去 ${\displaystyle Y}$  的奇点，最后消去纤维上的奇点。

奇点解消的定义容易推广到所有概形。并非所有概形都有奇点解消：格罗滕迪克（1965, EGA IV 7.9）证明了如果在一个局部诺特概形 ${\displaystyle X}$  上有限的所有整概形都有奇点解消，则 ${\displaystyle X}$  必然是拟优概形。格罗滕迪克猜测其逆为真，换言之：如果一个局部诺特概形 ${\displaystyle X}$  是拟优且既约的，则可以消解奇点。当 ${\displaystyle X}$  定义于一个零特征的域上时，此陈述能由广中平祐的定理导出；一般情形则化约到整完备局部环的奇点解消问题。

• 一些奇点及其解消之图片（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• SINGULAR（页面存档备份，存于互联网档案馆）: 一套能处理奇点解消的软件
• 2006年6月的暑期学校 Resolution of Singularities (Trieste, Italy) 的讲义
• desing（页面存档备份，存于互联网档案馆） 另一套处理奇点解消的软件

• Abhyankar, Shreeram Local uniformization on algebraic surfaces over ground fields of characteristic p≠0 Ann. of Math. (2) 63 (1956), 491--526.
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