优环

以下所论之环皆假定为么交换环。

• 一个包含域 ${\displaystyle k}$  的环 ${\displaystyle R}$  被称作在 ${\displaystyle k}$  上是几何正则的，当且仅当对任何有限扩张 ${\displaystyle k'/k}$ ，环 ${\displaystyle R\otimes _{k}k'}$  都是正则的。
• 一个环同态 ${\displaystyle \phi :R\rightarrow S}$  被称作是正则的，当且仅当它是平坦的，且对任何 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)}$  其纤维 ${\displaystyle S\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$  在剩余域 ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$  上几何正则。
• 一个环 ${\displaystyle R}$  被称作 G-环（或格罗滕迪克环），当且仅当它是诺特环，且所有的形式纤维都是几何正则的；第二个条件意谓：对任何 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)}$ ，环同态

${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\rightarrow {\widehat {R_{\mathfrak {p}}}}}$  是正则的。

• 一个环 ${\displaystyle R}$  被称作是拟优环，当且仅当它是个 G-环，且对任意有限生成的 ${\displaystyle R}$ -代数 ${\displaystyle S}$ ，${\displaystyle \mathrm {Spec} (S)}$  的奇点集是闭的。
• 一个优环是一个泛链的拟优环。

实际应用中的诺特环几乎都是泛链的，因此拟优环与优环几无差别。

若一个局部诺特概形 ${\displaystyle X}$  上有开覆盖 ${\displaystyle U_{i}}$ ，使得每个 ${\displaystyle U_{i}}$  都是优环的谱，则称 ${\displaystyle X}$  为优概形。

• 完备局部诺特环，包括域。
• 特征为零的戴德金环，包括整数环 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$  或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$  上的收敛幂级数环。
• 优环的局部化仍为优环。
• 优环上的有限生成代数仍为优环。

以下将给出一个特征 ${\displaystyle p>0}$  的一维局部正则环而非优环的例子。设 ${\displaystyle k}$  是一个特征 p 的域，${\displaystyle [k:k^{p}]=\infty }$ ，令 ${\displaystyle R:=k[[X]]}$ ，更令

${\displaystyle A:=\{\sum _{a_{i}}X^{i}\in R:[k^{p}(a_{1},\cdots ):k^{p}]<\infty \}}$ 

则 ${\displaystyle A}$  有非几何正则的的形式纤维，故非优环。

凡拟优环皆为永田雅宜环。

如果一个概形 ${\displaystyle X}$  有仿射开覆盖 ${\displaystyle X=\bigcup U_{\alpha }}$ ，使得每个 ${\displaystyle U_{\alpha }}$  都是优环的谱，则称 ${\displaystyle X}$  为优概形。此条件一旦对某个仿射开覆盖满足，则被所有仿射开覆盖满足。

拟优概形的定义类此。

拟优环与奇点解消问题关系密切，这似乎也是格罗滕迪克定义拟优环的动机。格罗滕迪克在 1965 年观察到：若能在所有完备的局部诺特整环中消解奇点，则在所有既约的拟优环中亦然。广中平祐在1964年证明了：特征为零时，完备局部诺特整环中皆可消解奇点。因此在特征为零的域上，凡优环皆可消解奇点。反之，若能在诺特环 ${\displaystyle R}$  上的所有有限生成整代数上消解奇点，则 ${\displaystyle R}$  是拟优环。

• V.I. Danilov, Excellent ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• A. Grothendieck, J. Dieudonne, Eléments de géométrie algébrique （页面存档备份，存于互联网档案馆） Publ. Math. IHES , 24, section 7 (1965)
• Hironaka, Heisuke Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II. Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109-203; ibid. (2) 79 1964 205-326.
• H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9, chapter 13.