环的谱

对于交换环 ${\displaystyle A}$  里的任一理想 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ，置 ${\displaystyle V({\mathfrak {a}}):=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (A):{\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {a}}\}}$ 。容易证明下述性质：

• ${\displaystyle V({\mathfrak {ab}})=V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})}$ 
• ${\displaystyle V(\sum _{i}{\mathfrak {a}}_{i})=\bigcap _{i}V({\mathfrak {a}}_{i})}$ 
• ${\displaystyle V({\mathfrak {a}})\subset V({\mathfrak {b}})}$ 当且仅当${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}\supset {\sqrt {\mathfrak {b}}}}$ 

因此我们可以在${\displaystyle Spec(A)}$ 上定义一个拓扑结构，使得其闭子集恰为形如${\displaystyle V({\mathfrak {a}})}$ 的子集，称之扎里斯基拓扑。

一般而言，扎里斯基拓扑并不满足豪斯多夫性质。

考虑扎里斯基拓扑下的下述预层：

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{0,A}:U\mapsto \varprojlim _{{\mathfrak {p}}\in U}A_{\mathfrak {p}}}$ 

令${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}}$ 为其层化，称作${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ 的结构层。显然有${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A,{\mathfrak {p}}}=A_{\mathfrak {p}}}$ ，故${\displaystyle (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}})}$ 构成一个局部赋环空间。

一个元素${\displaystyle a\in A}$ 给出${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}}$ 的截面，事实上可以证明${\displaystyle \Gamma (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}}_{A})=A}$ 。

设${\displaystyle A,B}$ 为交换环，${\displaystyle \phi :A\rightarrow B}$ 为一同态，则可定义一个映射${\displaystyle f({\mathfrak {p}})=\phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$ ，这是从${\displaystyle \mathrm {Spec} (B)}$ 到${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ 的连续映射，在结构层上则以${\displaystyle a\mapsto \phi (b)}$ 定义${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{A}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{B}}$ ，那么${\displaystyle (f,f^{\sharp })}$ 给出局部赋环空间的态射。

反之，任何仿射概形间的态射皆由此唯一地给出。上述对应遂建立起交换环的反范畴与仿射概形范畴的等价性。

令${\displaystyle k}$ 为代数封闭域，给定${\displaystyle f_{i}\in k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ （i=1,2,...），则方程组${\displaystyle f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$ 定义一个代数簇${\displaystyle X\subset \mathbb {A} _{k}^{n}}$ 。

设${\displaystyle {\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\subset k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ，${\displaystyle A:=\mathrm {k[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}} }$ 。根据希尔伯特零点定理，${\displaystyle X}$ 的点一一对应到${\displaystyle A}$ 的极大理想。

一般而言，${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ 内的元素一一对应到${\displaystyle X}$ 内的不可约闭集。考虑全体素理想的好处之一，在于可以借此在概形上运用安德烈·韦伊的一般点（generic point）理论；此外，环同态不一定将极大理想拉回到极大理想，除非该环是 Jacobson 环。

${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ 的拓扑结构仅涉及${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}}$ 。${\displaystyle A}$ 里的幂零元素看似无几何意义，但它们在研究无穷小变化及态射的纤维上功效至大。

• 《代数几何基础》