双曲面模型

如果 (x₀, x₁, …, x_n) 是 (n+1)-维坐标空间 Rⁿ⁺¹ 中一个向量，闵可夫斯基二次型定义为

${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}.}$ 

向量 v∈ Rⁿ⁺¹ 使得 Q(v) = 1 构成一个 n-维双曲面 S，由两个连通分支（或说叶）组成：向前或未来叶 S⁺，其中 x₀>0 与向后叶或过去叶 S⁻，其中 x₀<0。n-维双曲面模型中的点是向前叶 S⁺ 上的点。

闵可夫斯基双线性形式 B 是闵可夫斯基二次型 Q 的极化，

${\displaystyle B(u,v)=(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))/2.}$ 

具体地

${\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}.}$ 

S⁺ 中两点 u 与 v 的双曲距离由公式

${\displaystyle d(u,v)=\cosh ^{-1}(B(u,v))}$ 

给出。

不定正交群 O(1,n)，也称为 (n+1)-维洛伦兹群，是保持闵可夫斯基双线性形式的实 (n+1)×(n+1) 矩阵形成的李群。换种语言说，它是闵可夫斯基空间的线性等距群。特别地，这个群保持双曲面 S。O(1,n) 保持第一个坐标的符号的子群是正时洛伦兹群，记作 O⁺(1,n)。它的行列式为 1 矩阵的子群 SO⁺(1,n) 是一个 n(n+1)/2 维连通李群，通过线性自同构作用在 S⁺ 上且保持双曲距离。这个作用是传递的，向量 (1,0,…,0) 的稳定子由如下形式矩阵组成

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}$ 

这里 A 属于紧特殊正交群 SO(n)（推广了 n=3 的旋转群）。从而 n-维双曲空间是一个齐性空间以及秩为 1 的黎曼对称空间，

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=SO^{+}(1,n)/SO(n).}$ 

事实上，群 SO⁺(1,n) 是 n-维双曲空间保持定向的整个等距群。

• 庞加莱圆盘模型
• 双曲四元数

• Alekseevskij, D.V.; Vinberg, E.B.; Solodovnikov, A.S., Geometry of Spaces of Constant Curvature, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 3-540-52000-7 
• Anderson, James, Hyperbolic Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, ISBN 978-1-85233-934-0 
• Ratcliffe, John G., Foundations of hyperbolic manifolds, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94348-0 , Chapter 3
• Ryan, Patrick J., Euclidean and non-Euclidean geometry: An analytical approach, Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-25654-2