最大与最小元

设${\displaystyle (P,\leq )}$ 为偏序集（或预序集亦可），${\displaystyle S}$ 为其子集。若${\displaystyle S}$ 的元素${\displaystyle g}$ 满足：

对${\displaystyle S}$ 的任意元素${\displaystyle s}$ ，皆有${\displaystyle s\leq g}$ ，

则${\displaystyle g}$ 称为${\displaystyle S}$ 的最大元（英语：greatest element）。对偶地，若${\displaystyle S}$ 的元素${\displaystyle l}$ 满足：

对${\displaystyle S}$ 的任意元素${\displaystyle s}$ ，皆有${\displaystyle l\leq s}$ ，

则${\displaystyle l}$ 称为${\displaystyle S}$ 的最小元（least element）。

由定义，${\displaystyle S}$ 的最大（小）元必定是${\displaystyle S}$ 的上（下）界。且若${\displaystyle P}$ 为偏序集，则集合${\displaystyle S}$ 至多得一个最大元：若${\displaystyle g_{1}}$ 和${\displaystyle g_{2}}$ 皆为最大，则由定义有${\displaystyle g_{1}\leq g_{2}}$ ，又有${\displaystyle g_{2}\leq g_{1}}$ ，由反对称性得${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$ 。所以若有最大元，则必定唯一。^[1]若改为预序集则不一定。

整个偏序集${\displaystyle P}$ 的最大最小元又称为顶（top）和底（bottom）。顶常以符号记作${\displaystyle 1}$ 或${\displaystyle \top }$ ，底则是${\displaystyle 0}$ 或${\displaystyle \bot }$ ，在有补格和布尔代数等结构中尤为常见。有顶和底的偏序集称为有界偏序集合。

与极大极小元、上下界之别

集合不一定有最大元，也不一定有上界。即使集合有上界和上确界，也不一定有最大元。举例，实数系${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中，任何正数皆是负数子集${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 的上界，且${\displaystyle 0}$ 为其上确界，但是没有最大元：不存在“最大的负数”。最小元与下界、下确界的关系也类似。最大元又与极大元（maximal element）不同：有极大元的集合不一定有最大元，但偏序集若有最大元，则同时亦是唯一的极大元。最小元与极小元（minimal element）亦不同。^[1]

设${\displaystyle (P,\leq )}$ 为偏序集，${\displaystyle S}$ 为其子集。

• 有限全序集的非空子集必有最大最小元。
• ${\displaystyle S}$ 若有最大元${\displaystyle g}$ ，则${\displaystyle g}$ 必定是极大元。此时，${\displaystyle S}$ 衹有这一个极大元：对任意极大元${\displaystyle M}$ ，由于${\displaystyle g}$ 是最大元，必有${\displaystyle M\leq g}$ ，从而由${\displaystyle M}$ 极大知${\displaystyle M=g}$ 。所以若${\displaystyle S}$ 有多于一个极大元，则不能有最大元。
• 若${\displaystyle P}$ 满足升链条件，则其子集${\displaystyle S}$ 有最大元当且仅当其恰有一个极大元。
  • “仅当”：最大元必然是极大元。
  • “当”：假设${\displaystyle S}$ 有唯一极大元${\displaystyle m}$ 但没有最大元。因为${\displaystyle m}$ 不是最大，有${\displaystyle s_{1}\in S}$ 与${\displaystyle m}$ 不可比，又${\displaystyle s_{1}}$ 不是极大，所以有某个${\displaystyle s_{2}\in S}$ 满足${\displaystyle s_{1}<s_{2}}$ 。${\displaystyle s_{2}}$ 与${\displaystyle m}$ 也不可比：若${\displaystyle m<s_{2}}$ ，则与${\displaystyle m}$ 极大矛盾；反之${\displaystyle s_{2}\leq m}$ 又推出${\displaystyle s_{1}<m}$ ，与${\displaystyle s_{1}}$ 、${\displaystyle m}$ 不可比又矛盾。重复以上步骤，可得无穷递升链${\displaystyle s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}<\cdots }$ （其中每个${\displaystyle s_{i}}$ 皆与${\displaystyle m}$ 不可比，又非极大），与升链条件矛盾。

假如${\displaystyle \,\leq \,}$ 限制到子集${\displaystyle S}$ 上为全序（如首段附图的${\displaystyle S=\{1,2,4\}}$ ），则在${\displaystyle S}$ 中，最大元与极大元等价：若${\displaystyle m\in S}$ 为极大，则对任意其他${\displaystyle s\in S}$ ，必有${\displaystyle s\leq m}$ （${\displaystyle m<s}$ 将与${\displaystyle m}$ 极大矛盾），故${\displaystyle m}$ 是最大元。

所以，全序集中，最大元与极大元两个概念重合，有时也称为最大值（maximum），同理最小元与极小元也称为最小值（minimum）。但上述用法与实值函数（日语：実数値関数）论的用法略有出入。^[2]研究实值函数时，所谓最大值是函数的值域的最大元，又称全域最大值、绝对最大值、最大值。^[3]而限制到某点邻域时，对应值域的最大元（等同于极大元）则称为局域最大值、相对最大值、极大值。^[4]最大最小值又合称最值，极值亦同。

集合${\displaystyle S}$ 的最大最小值分别记作${\displaystyle \max S,\min S}$ 。在格理论或概率论中，为方便运算，会将两数${\displaystyle a,b}$ 之最大最小值（即其组成二元集的最大最小元）简记作并${\displaystyle a\vee b}$ 和交${\displaystyle a\wedge b}$ 。换言之：

${\displaystyle a\vee b=\max\{a,b\},\quad a\wedge b=\min\{a,b\}.}$ ^[5]

• 实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中，全体整数组成的子集${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 没有上界，从而没有最大元。
• 如图所示，在集合${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$ 上，定义自反关系${\displaystyle \,\leq \,}$ 使${\displaystyle a\leq c,}$  ${\displaystyle a\leq d,}$  ${\displaystyle b\leq c,}$  ${\displaystyle b\leq d.}$ 。则${\displaystyle c,d}$ 皆是集合${\displaystyle \{a,b\}}$ 的上界，但因为不可比较，没有最小上界。又${\displaystyle a,b}$ 不可比，${\displaystyle \{a,b\}}$ 没有最大元。
• 有理数集${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 中，平方小于2的数所组成的子集${\displaystyle \{q\in \mathbb {Q} :q^{2}<2\}}$ 有上界（如${\displaystyle 100}$ ），但没有最大元，也没有上确界。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中，区间${\displaystyle [0,1)}$ 有上确界${\displaystyle 1}$ 而没有最大元。但区间${\displaystyle [0,1]}$ 有最大元${\displaystyle 1}$ ，同时也是上确界。
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 配备积偏序（英语：product order）时^{[注 1]}，满足${\displaystyle 0<x<1}$ （而${\displaystyle y}$ 任意）的二元组${\displaystyle (x,y)}$ 的集合${\displaystyle A}$ 没有上界，也没有最大元。
• 但当${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 配备字典序时^{[注 2]}，${\displaystyle A}$ 有上界${\displaystyle (1,0)}$ ，但仍没有上确界和最大元。

• 本质上确界和本质下确界
• 始对象和终对象
• 极大与极小元
• 上极限和下极限
• 上界和下界
• 上确界和下确界（英语：Infimum and supremum）

• 西冈, 康夫. 数学チュートリアル やさしく語る 確率統計. オーム社. 2013. ISBN 9784274214073 （日语）. 
• 松坂, 和夫. 集合・位相入門. 岩波书店. 1968. ISBN 4-00-005424-4 （日语）. 
• Davey, B. A.; Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order 2nd. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-78451-1 （英语）.